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[答1220] 2辺の和の範囲

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1220] 2辺の和の範囲


 円に内接し、AB=8 ,AC=10 ,AD=8 の四角形ABCDの 辺BCと辺CDの長さの和の範囲は?

 □≦BC+CD<□ の形で答えてください。


[解答1]

 トレミーの定理より、AC・BD=AD・BC+AB・CD 、10BD=8BC+8CD 、5BD/4=BC+CD です。

 BDの中点をMとし、直径ANを描けば、

 △ABM∽△ANB より、AB:AN=AM:AB 、AN・AM=AB2=64 で、

 AN≧AC=10 だから、AN・AM≧10AM 、AN・AM≧10AM 、64≧10AM 、AM≦32/5 です。

 三平方の定理より、BM2=AB2-AM2≧64-(32/5)2=64(1-16/25)=64・9/25 、

 BD2/4≧64・9/25 、BD/2≧8・3/5 、5BD/4≧12 です。

 また、BD<AB+AD=16 、5BD/4<20 だから、12≦5BD/4<20 、12≦BC+CD<20 です。


[解答2]

 BDの中点をMとし、直径ANを描けば、2△ABN=AB・BN=AN・BD/2 、

 8√(AN2-82)=AN・BD/2 、BD=16√(1-64/AN2) になり、

 トレミーの定理より、AD・BC+AB・CD=AC・BD 、8BC+8CD=10BD 、

 BC+CD=(5/4)BD=20√(1-64/AN2) 、AN≧10 で BC+CD は AN について単調増加です。

 AN=10 のとき BC+CD=12 ,AN→∞ のとき BC+CD→20 だから、12≦BC+CD<20 です。


[解答3]

 △ABC≡△ADP となる点Pをとれば、C,D,Pは一直線上にあり、BC+CD=DP+CD=CP です。

 AからCPにおろした垂線の長さを考えれば、AC2-(CP/2)2≦AD2

 CP2≧4(AC2-AD2)=4(102-82)=4・36 、CP≧2・6=12 になり、

 CP<AC+AP=10+10=20 ですので、12≦CP<20 、12≦BC+CD<20 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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マツヨイグサ、散歩でたくさん見かけます

ニリンソウ  
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綺麗な黄色ですね、宵待ち草でいいのかな。
早出しないと咲いてるのは見れません。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
トレミーの式で考えましたが...
[解答3]は思いつきませんでしたが、なるほどですね☆

一気に、夏の盛りは影を潜めましたね ^^; and/or ♪

アキチャン  
No title

こんにちわ。
今は、すっかりお花の名前を忘れてしまってます゚(>_<)
綺麗な黄色♪

樹☆  
No title

こんばんは
今日は涼しかったけど、歩いたら
やっぱり暑かったです^^
雌待宵草かな?可愛いお花です。

POPS  
No title

こんばんは。
このビタミンカラーの花は何でしょう?
まだ蕾も見られるので、これから続々と咲くでしょうね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も散歩していてよく見かけます。
爽やかな黄色ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
宵待ち草は歌で、本当はマツヨイグサのようです。
なぜ、歌の方は宵待ち草になったのでしょうね?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答3]を思いつけばトレミーの定理は不要ですね。
なるべく、難しい定理を使わずに解きたいものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花の名前がなかなか出てこないことが、私にもよくあります。
マツヨイグサの黄色は綺麗でさわやかな感じがします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
昨日までと違って今日は蒸し暑いですね。
台風の影響で今後も湿度は高いようです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はマツヨイグサです。
散歩をしていてよく見かけますよ。