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[答1222] 正三角形の個数

ヤドカリ

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[答1222] 正三角形の個数


 1辺が1の正三角形を敷き詰めて1辺がnの正三角形を作った図の中にある正三角形のうち、

 全体の正三角形と同方向の正三角形の個数を f(n) ,逆方向の正三角形の個数を g(n) とするとき、

 例えば、n=4 のとき、図のように f(4)=20 ,g(4)=7 です。

 では、f(23)-g(23)=g(n) を満たす自然数nは?


[解答1]

 同方向の正三角形△の個数は、1,2,3,……,n から重複を許して3個選び、

 大きい方から p,q,r とします。

 左中図のように、上の頂点から左下に辺に沿って p ,右に q ,左上に r 移動して、

 △1つを作れるので、f(n)=n3=n(n+1)(n+2)/6 です。

 次に、逆方向の正三角形▽の個数は、一番下の辺上の点に、0,1,2,3,……,n の番号を付け、

 この中から3個を選び、小さい方から a,x,d とし、

 x と a+d-x の小さい方を b ,大きい方を c とすれば、b-a=d-c ですので、

 左下図のように、a,b から右上に、c,d から左上に△の辺をたどれば、菱形の下半分は▽です。

 ただし、b≠c のときは、2つの x の値について、同じ▽が決まります。

 b=c になるのは、a,d が両方偶数か両方奇数のときですので、

 n が偶数のとき、

 g(n)=(n+13n/2+12n/22)/2

  ={(n+1)n(n-1)/6+(n/2+1)(n/2)/2+(n/2)(n/2-1)/2}/2

  ={(n+1)n(n-1)/6+(n+2)n/8+n(n-2)/8}/2=n(n+2)(2n-1)/24 で、

 n が奇数のとき、

 g(n)=(n+13n/2+1/22n/2+1/22)/2

  ={(n+1)n(n-1)/6+2(n/2+1/2)(n/2-1/2)/2}/2

  ={(n+1)n(n-1)/6+(n+1)(n-1)/4}/2=(n+1)(n-1)(2n+3)/24 です。

 よって、f(23)=23・24・25/6=2300 、g(23)=24・22・49/24=1078 、g(24)=24・26・47/24=1222 、

 f(23)-g(23)=2300-1078=1222=g(n) を満たす自然数nは、

 g(n) が明らかに単調増加ですので、n=24 だけです。

 なお、n(n+2)(2n-1)/24=(n+1)(n-1)(2n+3)/24+1/8 ですので、

 n が偶数のときも奇数のときも、g(n)=[n(n+2)(2n-1)/24] です。


[解答2]

 右上図は f(23)-g(23) を求めるために、1辺が23の正三角形を作り、

 各頂点に、それが一番上の頂点である△のうち、

 その下の合同な▽と合わせて菱形が出来るものを除いた個数を書いたもので、

 この数の和が f(23)-g(23) です。

 右下図は g(24) を求めるために、1辺が24の正三角形を作り、

 各頂点に、それが一番下の頂点である▽の個数を書いたもので、この数の和が g(24) です。

 2つの図には、等しい数が同数個ありますので、f(23)-g(23)=g(24) です。

 g(n) は単調増加ですので、f(23)-g(23)=g(n) を満たす自然数nは n=24 だけです。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ルリマツリでしょうか~
散歩で見かけたことがないような~
パステルカラーの水色が優しく感じます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ブルーと言えば勿忘草ですが、似ているけど違いますね。
綺麗なブルー♪(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
爽やかな青ですね、花の名前は解りませんが。

ひとあめ降って大分涼しい朝です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
この手の計算としての貴殿の発想は斬新で面白いですね☆
半分くらいまでの?一般式が導けた(予想できた)ので解けましたけど...
背景にこういう法則があったのねぇ ^^☆ Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
ルリマツリ、綺麗に咲いてますね~。
花が可愛らしく、アップで見ると芝桜ぅぽくも見えますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方では、散歩でよく見かける花です。
よく見ると、水色が、仰る通り、パステルカラーですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
勿忘草は、ヤマルリソウに似ていますが、それより大きい花です。
ルリマツリのこの色は明るいいい色だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、ルリマツリの青は爽やかです。
ところで、北陸あたりまで、秋の空気に変わっているようですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
記号はともかく、小学生にでもわかるような方法と思います。
丁寧に図に数字を書き込むと、こんな結果になりました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ルリマツリはよく見かける花です。
私はシバザクラは連想できませんでしたが、親分のような花です。