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[答1223] 最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1223] 最小値


 f(x,y)=(2x+y-10)2+(3x+2y+3)2+(x+4y-4)2 とするとき、f(x,y) の最小値は?

 また、そのときの x,y の値は?


[解答1]

 f(x,y)=4x2+2(2y-20)x+(y-10)2+9x2+2(6y+9)x+(2y+3)2+x2+2(4y-4)x+(4y-4)2

  =14x2+2(12y-15)x+y2-20y+100+4y2+12y+9+16y2-32y+16

  =14{x2+(12y-15)x/7}+21y2-40y+125

  =14{x2+(12y-15)x/7+(12y-15)2/196-(12y-15)2/196}+21y2-40y+125

  =14{x+(12y-15)/14}2-(12y-15)2/14+21y2-40y+125

  =14(x+6y/7-15/14)2+(-144y2+360y-225+294y2-560y+1750)/14

  =14(x+6y/7-15/14)2+(150y2-200y+1525)/14

  =14(x+6y/7-15/14)2+150(y2-4y/3)/14+1525/14

  =14(x+6y/7-15/14)2+150(y2-4y/3+4/9-4/9)/14+1525/14

  =14(x+6y/7-15/14)2+75(y-2/3)2/7-200/42+4575/42

  =14(x+6y/7-15/14)2+75(y-2/3)2/7+625/6

 よって、x+6y/7-15/14=0 ,y-2/3=0 のとき 最小値 625/6 です。

 そのとき、x=1/2 ,y=2/3 です。


[解答2]

 以下、太字はベクトルを表すものとします。

 a=(2,3,1),b=(1,2,4),c=(-10,3,-4) とすれば、

 f(x,y)=|xa+ybc|2 で、この最小値を求める問題になります。

 最小になるのは、(xa+ybc)⊥a ,(xa+ybc)⊥b のときなので、

 x|a|2+yabac=0 ,xab+y|b|2bc=0 、

 |a|2=14 ,|b|2=21 ,ab=12 ,ac=-15 ,bc=-20 だから、

 14x+12y-15=0 ,12x+21y-20=0 、これを解いて、x=1/2 ,y=2/3 です。

 最小値は、

 f(1/2,2/3)=(1+2/3-10)2+(3/2+4/3+3)2+(1/2+8/3-4)2=(-25/3)2+(35/6)2+(-5/6)2

  =(5/6)2(102+72+12)=25・150/36=25・25/6=625/6 です。


[解答3]

 2x+y-10=X ,3x+2y+3=Y ,x+4y-4=Z とおけば、x=2X-Y+23 ,y=2Y-3X-36 で、

 (2X-Y+23)+4(2Y-3X-36)-4=Z 、10X-7Y+Z=-125 です。

 コーシー・シュワルツの不等式より、{102+(-7)2+12}(X2+Y2+Z2)≧(10X-7Y+Z)2

 150・f(x,y)≧(-125)2 、f(x,y)≧625/6 です。

 等号が成り立つのは X:Y:Z=10:(-7):1 のときですので、X=10k ,Y=-7k ,Z=k として、

 10X-7Y+Z=-125 より、100k+49k+k=-125 、k=-5/6 のときです。

 x=2X-Y+23=2・10k-(-7k)+23=27k+23=27(-5/6)+23=1/2 、

 y=2Y-3X-36=2(-7k)-3・10k-36=-44k-36=-44(-5/6)-36=2/3 、

 よって、最小値は、f(1/2,2/3)=625/6 です。


[解答4]

 f(x,y)=(2x+y-10)2+(3x+2y+3)2+(x+4y-4)2 を偏微分すれば、

 fx(x,y)=4(2x+y-10)+6(3x+2y+3)+2(x+4y-4)=28x+24y-30 、

 fy(x,y)=2(2x+y-10)+4(3x+2y+3)+8(x+4y-4)=24x+42y-40 、

 x,y について いずれも単調増加ですので、fx(x,y)=fy(x,y)=0 のとき f(x,y)は最小、

 28x+24y-30=0 ,24x+42y-40=0 、これを解いて、x=1/2 ,y=2/3 です。

 最小値は、

 f(1/2,2/3)=(1+2/3-10)2+(3/2+4/3+3)2+(1/2+8/3-4)2=(-25/3)2+(35/6)2+(-5/6)2

  =(5/6)2(102+72+12)=25・150/36=25・25/6=625/6 です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

ノウゼンカズラ太陽を思わせる色……
当方でもちらほら見かけます~

アキチャン  
No title

おはようございます。
ご近所の垂れ下がって咲いているのを毎年、楽しみに見ています(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

こちら雨ですよ~
こんないい雨が7月にも降ってればいかったのにな・・
とまぁこの程度ならと嫌でもないのですが
明日も続くとなるとヤダな。

夏が往った気がするのですが
ノウゼンカズラは2度目の花でしょうか。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
よくわからないままに偏微分で解きましたが...^^;
[解答2],[解答3]は...やはり...熟読玩味で...^^;;
計算も偏微分が一番楽ですね ^^;v...Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
ノウゼンカズラ、鮮やかで綺麗ですね~。
この花も息の長い花ですよね。熊谷でも咲いてましたよ。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
夏中咲いてくれていて、よく見かけます。
月も変わるので、アップしました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
長い間、見られる花ですね。
よく見られる花はお蔵入りする多く、アップしてみました。

ヤドカリ  
No title

2018/8/31(金) 午前 9:20の鍵コメ様
いつもお忙しくされているように思っていました。
時間の余裕ができれば、いろいろ取り組めますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ノウゼンカズラはあちこちでよく見ますので、2度目かどうか知りません。
こちらは、大気が不安定ですが、雨は降らず、蒸し暑いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
いくつかの平方の和なので、コーシー・シュワルツも使えます。
みなさんがどんな解き方をされるのか見たかった問題です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花期が長いので、よく見かける花でもあります。
暑くて花が少ない時期に見られるのは有難いですね。