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[答1224] 三角形の面積

ヤドカリ

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[答1224] 三角形の面積


 BC=2√34 ,∠A=9π/16 である △ABCの辺ABの中点をMとします。

 ∠AMC=3π/8 のとき、△ABCの面積は?


[解答]

 Cから直線ABにおろした垂線をCHとします。

 ∠MCH=π/2-∠AMC=π/2-3π/8=π/8 ,

 ∠ACH=∠MAC-π/2=9π/16-π/2=π/16=∠MCH/2 、

 よって、CAは∠MCHの二等分線になり、MA:AH=MC:CH です。

 ここで、BM=MA=b,MH=a とすれば、AH=MH-MA=a-b であり、

 簡単のため、∠AMC=θ とすれば、CH=MH・tanθ=a・tanθ ,CH=CM・sinθ です。

 MA:AH=MC:CH=1:sinθ より AH=MA・sinθ=b・sinθ 、AH2=b2・sin2θ 、

 (a-b)2=b2・sin2θ 、a2-2ab+b2=b2・sin2θ 、a2+b2・cos2θ=2ab です。

 三平方の定理より BH2+CH2=BC2 、(a+b)2+a2・tan2θ=136 、a2+2ab+b2+a2・tan2θ=136 、

 a2/cos2θ+b2+2ab=136 、a2+b2・cos2θ+2ab・cos2θ=136cos2θ 、

 2ab+2ab・cos2θ=136cos2θ 、ab=68cos2θ/(1+cos2θ) です。

 △ABC=AB・CH/2=2b(a・tanθ)/2=ab・tanθ=68cos2θtanθ/(1+cos2θ)

  =68sinθcosθ/(1+cos2θ)=68(2sinθcosθ)/(2+2cos2θ)=68sin2θ/(3+cos2θ) 、

 ∠AMC=θ=3π/8 より sin2θ=sin(3π/4)=1/√2 ,cos2θ=cos(3π/4)=-1/√2 、

 △ABC=68(1/√2)/(3-1/√2)=68/(3√2-1)=68(3√2+1)/{(3√2-1)(3√2+1)}

  =68(3√2+1)/{(3√2-1)(3√2+1)}=68(3√2+1)/17=4(3√2+1)=12√2+4 です。

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Comments 10

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アキチャン  
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おはようございます。
すっかり狩ってしまっていたのに、3年後でもこれには芽が出て家でも同じような白い葉がいっぱいになっています。

ひとりしずか  
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葉が十分魅力です

ニリンソウ  
No title

晴れて30度になってしまいました。

夏の間からずーっと我が家のハツユキカズラも
こんな感じですよ。
ちょこちょこ剪定するのでいつも新芽が綺麗です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは...I'm out of it≒グリコのマークでしたぁ ^^;
解いちゃう皆さん方って...本当にすごいわ !! Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
この花は初めて見たかも・・・
清涼感があり、綺麗に咲き揃ってますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハツユキカズラは強い植物なのですね。
私は見て写真を撮るだけですので、知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、葉が魅力の植物ですね。
よく見ると、いろんな色や模様があって面白いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
なるほど、剪定すればずっと綺麗に見られるのですね。
新芽の薄い色も綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
仰るように、皆さん、よくこんな問題を解きますね。
めったにこんな角は出てこないと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ハツユキカズラの葉っぱです。
暑い夏に涼し気な色がいいと思います。