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[答1225] 三角数と四角数

ヤドカリ

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[答1225] 三角数と四角数


 三角数とは 1から始まるn個の自然数の和 1+2+3+……+n で、T(n) と表し、

 四角数とは 1から始まるn個の奇数の和 1+3+5+……+(2n-1) で、S(n) と表すことにします。

 例えば、T(8)=1+2+3+4+5+6+7+8=36 ,S(6)=1+3+5+7+9+11=36 です。

 三角数かつ四角数となる最小のものは T(1)=S(1)=1 ,2番目に小さいものは T(8)=S(6)=36 ですが、

 3番目に小さいもの,4番目に小さいものは?


[解答]

 T(m)=S(n) とすれば、m(m+1)/2=n2 、4m(m+1)=8n2 、(2m+1)2=8n2+1 です。

 (2m+1)2-4n2=4n2+1 、(2m+1-2n)(2m+1+2n)=4n2+1>0 だから、2m+1-2n>0 、

 m-n≧0 になり、m-n=k とおけば、k≧0 ,(2k+1)(2k+1+4n)=4n2+1 、

 4k2+4k+1+8kn+4n=4n2+1 、k(k+1)=n(n-2k-1) 、

 n-2k-1≧0 になり、n-2k-1=q とおけば、q≧0 ,k(k+1)=(q+2k+1)q です。

 ここで、k+1≦q+2k+1 だから、k≧q 、k=q+p とおけば、p≧0 で、

 (q+p)(q+p+1)=(3q+2p+1)q 、q2+2pq+p2+q+p=3q2+2pq+q 、p2+p=2q2

 p(p+1)/2=q2 、T(p)=S(q) です。

 k=m-n ,q=n-2k-1 ,k=q+p だから、

 n=q+2k+1=q+2(q+p)+1=2p+3q+1 ,m=n+k=2p+3q+1+q+p=3p+4q+1 になり、

 T(m)=S(n) は T(p)=S(q) から m=3p+4q+1 ,n=2p+3q+1 として得らることになります。

 よって、T(1)=S(1) ⇒ T(8)=S(6) ⇒ T(49)=S(35) ⇒ T(288)=S(204) ⇒ …… 、

 3番目に小さいものは T(49)=S(35)=1225 、4番目に小さいものは T(288)=S(204)=41616 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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もしかしてジュズダマ?
散歩で見たことがないような~
稲穂のように垂れているのが雄花?

アキチャン  
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おはようございます。
さて何のお花の後だったかしら?だんだん思い出せなくなってます(´・_・`)
話は違いますが、大きな台風のあとは大きな地震がきましたね。
ほんとうに大荒れな日本です…被害も大きくなりませんように、速い復旧、復興願うばかりです。

ニリンソウ  
No title

おはようございます
この植物「じゅろくだま」と言いました。
お手玉の材料にした思い出です
正式名はなんと言うのかな。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
人間業とは思えない式変形で、隠れた構造を発見されてますねぇ♪
ただ、例えば、T(8)=S(6) ⇒ T(49)=S(35) は具体的にはどうやって求めればいいのでしょうかしらん ^^;...Orz~

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは~
これは、も、もしかして数珠ができるやつ・・・
子どもの頃、アパートの敷地内にありまして作りました~
懐かしい・・・久しぶりに見ました
うれしいです

POPS  
No title

こんばんは。
この花の蕾は何でしょうか?
それとも何かの実でしょうか。
光の当たり具合が良く、秋を感じられますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、ジュズダマ、イネ科の植物です。
どこまで花なのかよく知らないのですが、この頃あまり見なくなりました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
台風による高潮も、地震による液状化も大きな災害ですね。
日本は災害の多い国だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
普通はジュズダマだと思います。ただ、多くの地方で見られるようですので、
その地方の呼び方がいろいろあるのだと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
T(8)=S(6) ⇒ T(49)=S(35) の導き方は下から3行目に書いてあります。
数列として見れば、増加のスピ-ドは速いですね。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
私も、子供の頃はよく見たのですが、この頃はあまり見ません。
久しぶりに見たので撮りました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ジュズダマというイネ科の植物です。
水辺に多いようですが、そうでない場所でも見られます。