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[答1226] 定積分の値

ヤドカリ

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[答1226] 定積分の値


 nを負でない整数 , In0π/2 (πt-t2)nsin t dt とします。

 p=355 ,q=113 として、π を p/q で近似するとき、qn・In/n! の n=0,1,2 のときの値は?

 また、n → ∞ のとき、qn・In/n! → ?

 いずれも整数値で求めてください。


[解答]

 I00π/2 sin t dt=[-cos t]0π/2=1 、q0・I0/0!=I0=1 、

 I10π/2 (πt-t2)sin t dt=[-(πt-t2)cos t]0π/20π/2 (π-2t)cos t dt

  =[(π-2t)sin t]0π/2+20π/2 sin t dt=2 、

 q1・I1/1!=q・I1=113・2=226 、

 In+10π/2 (πt-t2)n+1sin t dt=[-(πt-t2)n+1cos t]0π/2+(n+1)0π/2 (πt-t2)n(π-2t)cos t dt

  =(n+1)[(πt-t2)n(π-2t)sin t]0π/2-(n+1)0π/2 {n(πt-t2)n-1(π-2t)2-2(πt-t2)n}sin t dt

  =-(n+1)n0π/2 (πt-t2)n-1{π2-4(πt-t2)}sin t dt+2(n+1)0π/2 (πt-t2)nsin t dt

  =-(n+1)nπ2・In-1+4(n+1)nIn+2(n+1)In=-(n+1)nπ2・In-1+2(n+1)(2n+1)In

 (n+1)! で割って、In+1/(n+1)!=2(2n+1)In/n!-π2・In-1/(n-1)! 、

 qn+1・In+1/(n+1)!=2(2n+1)q・qn・In/n!-(qπ)2・qn-1・In-1/(n-1)! 、

 qπ=p とすれば、qn+1・In+1/(n+1)!=2q(2n+1)qn・In/n!-p2qn-1・In-1/(n-1)! だから、

 q2・I2/2!=6q・q1・I1/1!-p2q0・I0/0! になり、

 p=355 として πを近似すれば、q2・I2/2!≒6・113・226-3552・1=27203 です。

 次に、0<t<π の範囲で (πt-t2)nsin t>0 で、最大値は t=π/2 のときで (π2/4)n だから、

 0<In<(π/2)(π2/4)n=πn+1(π/4)n/2≦πn+1/2 ですので、

 0<qn・In/n!<qnπn+1/(2・n!)=pnπ/(2・n!) になり、

 n → ∞ のとき pnπ/(2・n!) → 0 だから、はさみうちの定理より、qn・In/n! → 0 です。


[参考]

 この内容をもとに、πが無理数であることを証明することができます。

 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3346.html をご覧ください。

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Comments 8

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ニリンソウ  
No title

これ何と言う名前だったかな・・・・
植えた事あったんですよ、花は長く咲いていました。

ムラサキも白もピンクもいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
beyond me...にて手つかず...^^;
こんな問題を思いつけること自体がわたしには驚天動地ですだ ^^☆
Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
白花は清涼感があっていいですね~。
蕾もまだあるので、まだまだ楽しめそうです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花は、アンゲロニア セレナホワイトです。
長い間咲いてくれる花は有難いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
元ネタは阪大の入試問題です。
出題された頃は円周率が3でよいと話題になった頃で、
出題者はそれを許せなかったのだと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花は、アンゲロニア セレナホワイトです。
蕾も多く、長い間咲いてくれる花です。

アキチャン  
No title

おはようございます。
アンゲロニア セレナホワイト…初聞きです。きれいですね♪(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白い花は他の品種でも綺麗だと私は思います。
沢山の花が咲いていました。