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[答1227] 連続する自然数の和

ヤドカリ

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[答1227] 連続する自然数の和


 与えられた自然数を2個以上の連続自然数の和で表します。

 例えば与えられた自然数が 30 のとき、9+10+11 ,6+7+8+9 ,4+5+6+7+8 の3通りで、

 そのうち、偶数個の連続自然数で表されるのは 6+7+8+9 の1通り、

 奇数個の連続自然数で表されるのは 9+10+11 ,4+5+6+7+8 の2通りです。

 では、567000 は、偶数個,奇数個の連続自然数で表す方法は それぞれ何通り?


[解答1]

 連続自然数の最大数を M ,最小数を m ,和を n とすれば、個数は M-m+1 なので、

 (M+m)(M-m+1)/2=n 、(M+m)(M-m+1)=2n になります。

 また、(M+m)-(M-m+1)=2m-1 は奇数の自然数ですので、

 M+m,M-m+1 の 一方は奇数で他方は偶数、M+m>M-m+1 です。

 M+m,M-m+1 は 2n の約数ですが、奇数の方はnの約数ですので、

 連続自然数の和で表す方法の数は、nの奇数の約数の個数に一致し、

 個数が偶数の場合は M+m は奇数で、√(2n) より大きいnの約数になります。

 n=567000 のとき、n>√1134000 、n≧1065 です。

 また、567000=23・34・53・7 なので、奇数の約数は 34・53・7 の約数で、5・4・2=40 個です。

 そのうち、53・7 の約数は 1,5,7,25,35,125,175,875 の8個で、1065以上ものはなく、

 1065/3=355 なので、1065以上になるのは 3・875 の1個と、

 1065/32=118+1/3 なので、1065以上になるのは 32・125 ,32・175 ,32・875 の3個と、

 1065/33=39+4/9 なので、1065以上になるのは 33・125 ,33・175 ,33・875 の3個と、

 1065/34=13+4/27 なので、1065以上になるのは 34・25 ,34・35 ,34・125 ,34・175 ,34・875 の5個、

 結局、1065以上の奇数の約数は 1+3+3+5=12 個、1064以下の奇数の約数は 40-12=28 個です。

 偶数の個連続自然数で表す方法は 12通り、

 奇数個の連続自然数で表す方法は1個の場合を除いて 27通りです。


[解答2]

 6+7+8+9=(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 のように、

 偶数個の連続自然数で表される場合は、整数の範囲で奇数個の連続整数の和で表すことができます。

 奇数個の連続整数で表すと、その中央の自然数が平均になります。

 従って、自然数を2個以上の連続自然数の和で表す方法の数は、

 1以外の奇数の約数の個数と一致します。

 一般化して、自然数nをd個(dは奇数)の連続整数の和で表せるのは、

 dはnの約数で、その平均は n/d 、最小数は n/d-(n-1)/2 です。

 最小数が1以上の場合はそのまま奇数個の自然数の和で表されますが、

 0以下の場合は最小数の絶対値以下の整数を消せば偶数個のの自然数の和で表されます。

 偶数個の場合は、n/d-(d-1)/2<1/2 として、n/d<d/2 、2n<d2 、d>√(2n) となり、

 nの奇数の約数のうち、√(2n) より大きいものの個数です。

 n=567000 のときの求め方は [解答1]と同じです。

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Comments 11

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ひとりしずか  
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オミナエシ今が盛り?

ニリンソウ  
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おはようございます。
今日も爽やかに晴れましたか、3連休は良くない空模様です。
9月になってもまだオミナエシが見れますね
意外に長く咲いているんだなと思ってます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
春は黄色から目立ってきますが、秋も同じですね(*´∀`*)

スモークマン  
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グーテンターク ^^
[解法2]でした...最小数が-1以下の場合は...0の分だけ多く減るので奇数個と考えました...条件を満たすものを探すのが面倒でしたぁ ^^;; Orz~

POPS  
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こんばんは。
オミナエシ、綺麗に咲いていて、ビタミンカラーは元気を頂けますね
ここに来て色々な花が咲きだしてるのでワクワクしますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title


この女郎花は今月はじめに撮ったものです。
4日の台風のため、花の文化園も長居植物園も
休園になっていたからです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、中々写真を撮れませんでした。
今が花盛りかどうかはよく分かりません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
今日は曇り時々小雨でした。
女郎花は秋の七草ながら、夏から見られますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の花からは元気を貰えます。
春や秋に似合う色ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
面倒な問題だったと思います。
検討を丁寧にしないといけない問題でしたね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
女郎花の黄色は夏から初秋にかけて元気を貰える色です。
秋の花がこれからいろいろ咲きますね。