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[答1228] 外心と辺の距離

ヤドカリ

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[答1228] 外心と辺の距離


 鋭角三角形ABCの外心を O とし、辺BC,CA,AB の中点をそれぞれ D,E,F とします。

 OD=4,OE=14,OF=22 であるとき、

 △ABCの内接円の半径を r ,外接円の半径を R として、r=? R=?


[解答1]

 EF=a,FD=b,DE=c とすれば BC=2a,CA=2b,AB=2c です。

 三平方の定理より、a2=R2-16 ,b2=R2-196 ,c2=R2-484 です。

 四角形OEAF,四角形OFBD は円に内接しますので、トレミーの定理より、

 aR=22b+14c ,bR=4c+22a 、

 2aR-7bR=44b-154a 、(2R+154)a=(7R+44)b 、(2R+154)2a2=(7R+44)2b2

 (4R2+616R+23716)(R2-16)=(49R2+616R+1936)(R2-196) 、簡単にして、

 -45R(R-28)(R2+28R+88)=0 、R=28 ですので、

 a2=R2-16=768 ,b2=R2-196=588 ,c2=R2-484=300 、a=16√3 ,b=14√3 ,c=10√3 、

 (a+b+c)/2=20√3 で、△ABC=(4a+14b+22c)/2=2a+7b+11c=240√3 だから、

 r=(240√3)/(20√3)=12 です。


[解答2]

 cosA=4/R ,cosB=14/R ,cosC=22/R であり、R>22 です。

 cosA=-cos(B+C) より cosA=sinBsinC-cosBcosC 、cosA+cosBcosC=sinBsinC 、

 2乗して cos2A+2cosAcosBcosC+cos2Bcos2C=sin2Bsin2C 、

 cos2A+2cosAcosBcosC+cos2Bcos2C=(1-cos2B)(1-cos2C) 、

 cos2A+2cosAcosBcosC+cos2Bcos2C=1-cos2B-cos2C+cos2Bcos2C 、

 1-cos2A-cos2B-cos2C-2cosAcosBcosC=0 、

 1-16/R2-196/R2-484/R2-2・4・14・22/R3=0 、R3-16R-196R-484R-2・4・14・22=0 、

 R3-696R-2・4・14・22=0 、(R-28)(R2+28R+88)=0 、R=28 です。

 次に、r=△ABC/{(BC+CA+AB)/2} であり、

 △ABC=△OBC+△OCA+△OAB=(RsinA)(RcosA)+(RsinB)(RcosB)+(RsinC)(RcosC)

  =R2(sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC) 、

 (BC+CA+AB)/2=RsinA+RsinB+RsinC=R(sinA+sinB+sinC) だから、

 r=R(sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC)/(sinA+sinB+sinC)

 ( ここで、cosA,cosB,cosC,sinA,sinB,sinC を求めても r は計算できますが、)

 r=R(sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC+sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)-R であり、

 sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC+sinA+sinB+sinC

  =sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC+sin(B+C)+sin(A+C)+sin(A+B)

  =sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC+sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB

  =(sinA+sinB+sinC)(cosA+cosB+cosC) だから、

 r=R(cosA+cosB+cosC)-R=RcosA+RcosB+RcosC-R=4+14+22-28=12 です。


[参考1]

 △ABCは鋭角三角形でしたが、鈍角三角形の場合は次のようになります。

 A=B+C より cosA=cos(B+C) 、cosA=cosBcosC-sinBsinC 、cosA-cosBcosC=-sinBsinC 、

 鋭角三角形の場合と同様に式変形して、

 1-cos2A-cos2B-cos2C+2cosAcosBcosC=0 、

 R3-696R+2・4・14・22=0 、(R+28)(R2-28R+88)=0 、R=14+6√3 です。

 △ABC=-△OBC+△OCA+△OAB=R2(-sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC) ,

 sinB=sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC ,sinC=sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB だから、

 鋭角三角形の場合と比べて、cosA を -cosA に変えたものになり、

 r=-RcosA+RcosB+RcosC-R=-4+14+22-(14+6√3)=18-6√3 です。


[参考2]

 △ABCの外心を O 、O から各辺に下ろした垂線を OD,OE,OF とし、

 △ABC の外接円の半径を R ,内接円の半径を r とすれば、r=OD+OE+OF-R です。

 ただし、鈍角三角形の場合は OD,OE,OF のうち 最小のものを負の数として扱います。

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

センニチコウ大好きです

ニリンソウ  
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おはようございます
早速長居植物園の花でしょうか、千日紅ですね
名前の通り千日も咲くかと思うほど咲き続けます。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]は手が出ませんが...^^;
[解答1]のように、Rの方程式を作るべきでした☆
わたしゃ...どうやったのか思い出せましぇん...(PCにお願いしたのですが...^^;;) Orz~

R+r=OD+OE+OF なる関係は綺麗ですねぇ♪
で、ちょい調べてみました...^^v
A+B+C=π のとき...
https://mathtrain.jp/r4rsin より
r=4R*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2) らしい...
また、https://mathtrain.jp/waseki より
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)+1 らしい...
これらから...
R+r=R*(1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2))
=R*(cosA+cosB+cosC)
=OD+OE+OF
が導けましたぁ ^^♪

POPS  
No title

こんばんは。
センニチコウでしょうか?
真っ赤な花が鮮やかに咲き揃って綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
センニチコウがお好きですか。
大きな花ではないけど、大勢で咲き続けるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、長居植物園に咲いていた千日紅です。
千日は三年弱ですので、流石にオーバーですが、長く咲いてくれます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
r=OD+OE+OF-R になることは、[解答2]の後半に記してあります。
よくご覧いただければ分かるはずですが。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、千日紅です。
他の色もありますが、千日紅には赤が似合うと思います。

アキチャン  
No title

おはようございます。
春にひと鉢買っただけなのに、夏中よく咲いてくれました。
今も、お花は少なくなってきましたが、咲いてくれて赤い色が生えて賑やかです(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花期の長い花ですね。生命力もあります。
花の少ない暑い夏でも元気よく咲いてくれていましたね。