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[答1229] 連分数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1229] 連分数


 1/{a+1/(b+1/c)}=17/195 を満たす整数の組(a,b,c)=?


[解答]

 a+1/(b+1/c)=195/17 、

 ここで、a+1/(b+1/c)=a+c/(bc+1) であり、195/17=11+8/17=12-9/17 です。

 b=0 であれば a+1/(b+1/c)=a+c は整数になり、適しませんので、b≠0 です。

 b=1 のとき、a+c/(bc+1)=a+c/(c+1)=a+1-1/(c+1) で、1/(c+1) は整数でないので、

 |c+1| は 2 以上の自然数で、a+1-1/(c+1)=11+8/17=12-9/17 になりません。

 b=-1 のとき、a+c/(bc+1)=a-c/(c-1)=a-1-1/(c-1) で、1/(c-1) は整数でないので、

 |c-1| は 2 以上の自然数で、a-1-1/(c-1)=11+8/17=12-9/17 になりません。

 よって、|b|≧2 になり、|b+1/c|≧1 、|1/(b+1/c)|≦1 、|c/(bc+1)|≦1 です。

 a+c/(bc+1)=11+8/17=12-9/17 ですので、

 a=11,c/(bc+1)=8/17 または a=12,c/(bc+1)=-9/17 です。

 a=11,c/(bc+1)=8/17 のとき、

  17c=8bc+8 、(17-8b)c=8 、17-8b は8の約数で奇数ですので、17-8b=±1 、

  -8b=-17±1 、b は整数ですので b=2 、c=8 です。

 a=12,c/(bc+1)=-9/17 のとき、

  17c=-9bc-9 、(17+9b)c=-9 、17+9b は9の約数で3の倍数ではないので、17+9b=±1 、

  9b=-17±1 、b は整数ですので b=-2 、c=9 です。

 まとめると、(a,b,c)=(11,2,8),(12,-2,9) です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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タマスダレ初めて見ていらい好きな花です

アキチャン  
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おはようございます。
たますだれは他のお花や足元を可愛くカバーしてくれますね(*´∀`*)

ゆうこ つれづれ日記  
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こんにちは~
白いお花はなんと言うお花でしょう。
可愛いお花ですね。
ナイス☆

私の地域、今日も良い天気です。
お天気が4日も続くなんってこと今年はなかったのに…

ヤドカリさん地方はどうかしら?

ニリンソウ  
No title

このタマスダレが咲いているのですが
上手く撮れないのです、萎んだ花が混ざってて・
綺麗に撮れましたね。

ナイス

スモークマン  
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グーテンターク ^^
普通に割り算を繰り返して求めましたです ^^
負の整数もありうることは途中で気づきましたけど ^^;v Orz~

POPS  
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こんばんは。
タマスダレが綺麗に咲いてますね~。
今年は何気に縁の無い花でした・・・
ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
よく見かける花ですが、愛らしい花です。
しろい花弁がパッと広がっている姿がいいですね。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
あちこちでよく見かけます。
他の花と一緒に咲いていても、邪魔にならないですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花の名前はタマスダレです。当方ではあちこちで見かけます。
こちらの天気は曇りまたは雨、明日午後には晴れそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
しぼんだ花が混じっていると撮りにくいですが、
そのような花がほとんどない所を見つけて撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
割り算だけで求めると、解が他にあるかどうか確定しません。
解答はそこを厳密に書きましたので、長くなりました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
よく見かける花ですし、毎年出会う花です。
今年円がなかったのはタマスダレにタイミングが合わなかったのでしょう。