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[答1230] 4次関数と平行な接線

ヤドカリ

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[答1230] 4次関数と平行な接線


 f(x) は x4 の係数が1であるxの4次関数で、

 図のように、y=f(x) と y=mx+n と点A,Bで接し、A,Bのx座標の差が 1 です。

 また、y=mx+n と平行で 点Pで接する接線と y=f(x) との交点を C,Dとします。

 また、x座標が小さい順に C,A,P,B,D とします。

 このとき、線分ABと線分CDと y=f(x) で囲まれる水色の部分の面積を S として、S=?


[準備]

 m,n を負でない整数として、I(m,n)=αβ (x-α)m(x-β)ndx とします。

 I(m,n)={1/(m+1)}[(x-α)m+1(x-β)n-1]αβ-{n/(m+1)}αβ (x-α)m+1(x-β)n-1dx 、

 I(m,n)=-n・I(m+1,n-1)/(m+1)={n(n-1)}・I(m+2,n-2)/{(m+1)(m+2)}=……

  =(-1)k・{n(n-1)…(n+1-k)}・I(m+k,n-k)/{(m+1)(m+2)…(m+k)}=……

  =(-1)n・{n(n-1)…(n+1-n)}・I(m+n,n-n)/{(m+1)(m+2)…(m+n)}

  =(-1)n・n!・I(m+n,0)/{(m+n)!/m!}=(-1)n・m!・n!・I(m+n,0)/(m+n)! 、

 ここで、I(m+n,0)=αβ (x-α)m+ndx=[(x-α)m+n+1]αβ/(m+n+1)=(β-α)m+n+1/(m+n+1) 、

 よって、I(m,n)=(-1)n・m!・n!・(β-α)m+n+1/(m+n+1)/(m+n)! 、

 αβ (x-α)m(x-β)ndx=(-1)n・m!・n!・(β-α)m+n+1/(m+n+1)! です。

 本問では、αβ (x-α)2(x-β)2dx=(β-α)5/30 ,αβ (x-α)(x-β)dx=-(β-α)3/6 を使います。


[解答]

 C,A,B,D のx座標をそれぞれ c,a,b,d (c<a<b<d) とします。

 y=f(x) は A,B で y=mx+n に接するので、f(x)=(x-a)2(x-b)2+mx+n と表されます。

 a+b=M ,b-a=L とおけば、ab=M2/4-L2/4 ですので、

 f(x)=(x2-Mx+M2/4-L2/4)2+mx+n 、

 f'(x)=2(x2-Mx+M2/4-L2/4)(2x2-M)+m=2(x-a)(x-b)(2x2-M)+m 、

 f'(x)=m を満たすxは、x=a,b,M/2 ですので、Pのx座標は M/2 です。

 f(M/2)=(M/2-a)2(M/2-b)2+mM/2+n=(L/2)4+mM/2+n 、

 b-a=L とおけば、f(M/2)=L4/16+mM/2+n 、

 Pでの接線は y-f(M/2)=m(x-M/2) 、y=mx-mM/2+f(M/2) 、y=mx+n+L4/16 です。

 f(x)=mx+n+L4/16 とおけば、(x-a)2(x-b)2=L4/16 、

 (x2-Mx+M2/4-L2/4)2-(L2/4)2=0 、

 (x2-Mx+M2/4)(x2-Mx+M2/4-L2/2)=0 、

 (x-M/2)2(x2-Mx+M2/4-L2/2)=0 ですので、

 c,d は x2-Mx+M2/4-L2/2=0 の解で、

 解と係数の関係により、c+d=M ,cd=M2/4-L2/2 、

 (c+d)2/4-(d-c)2/4=M2/4-L2/2 、M2/4-(d-c)2/4=M2/4-L2/2 、

 (d-c)2=2L2 、d-c=(√2)L です。

 また、x2-Mx+M2/4-L2/2=(x-c)(x-d) だから、

 f(x)=(x2-Mx+M2/4-L2/4)2+mx+n={(x-c)(x-d)+L2/4}2+mx+n

  =(x-c)2(x-d)2+L2(x-c)(x-d)/2+L4/16+mx+n です。

 y=f(x) と y=mx+n で囲まれる面積は、ab (x-a)2(x-b)2dx=(b-a)5/30=L5/30 、

 y=mx+n+L4/16 と y=f(x) で囲まれる面積は、

 cd {-(x-c)2(x-d)2-L2(x-c)(x-d)/2}dx

  =-(d-c)5/30+L2(d-c)3/6/2=-(4√2)L5/30+L2(2√2)L3/12=(√2)L5/30 、

 よって、S=L5/30+(√2)L5/30=(1+√2)L5/30 、L=b-a=1 ですので、S=(1+√2)/30 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ツルボかな?
初秋の花なんですネ

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
ツルボが群生ですね~いいな
こんな風景期待したけど今年はダメでした。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
1/2で上昇する距離と、その倍になるxを求め流という、全体的にアバウトな考えでしか解けませんでした...^^;
きっちり説明するには力不足ですだ Orz...

POPS  
No title

こんばんは。
この花は?
色合いからも秋を感じられて綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ツルボの花です。
雑草のような花なのに、薄い紫色が上品です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
なぜか今年はツルボが多く咲いていました。
見に行って良かったです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このようにしなくても、先に b-a=1 を使えば計算は楽です。
また、平行移動は 置換積分で処理できます。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花の名前はツルボです。
秋の色合いを感じられたら、花も嬉しいでしょうね。