FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1231] 三角形の面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1231] 三角形の面積比


 図のように、△ABCの辺 BC,CA,ABを 3:4 に内分する点を L,M,N 、4:7 に内分する点を P,Q,R 、

 3直線 NP,LQ,MR でできる三角形を△DEFとするとき、面積比 △DEF/△ABC=?


[解答1]

 △ARM=△BPN=△CQL=16S とすれば、△ABC=(11/4)(7/4)・16S=77S です。

 次に、2直線 RM,BC の交点を T とします。

 △ABCと直線EFでメネラウスの定理より、

 (CM/MA)(AR/RB)(BT/TC)=1 、(3/4)(4/7)(BT/TC)=1 、BT/TC=7/3 だから、BC:TC=4:3 になり、

 △RBTと直線ACでメネラウスの定理より、

 (RA/AB)(BC/CT)(TM/MR)=1 、(4/11)(4/3)(TM/MR)=1 、TM/MR=33/16 だから、TM:MR=33:16 です。

 ここで、AM:MQ:QC=4/7:(1-4/7-4/11):4/11=44:5:28 で、

 CL:CT=(4/7)BC:CT=(4/7)・4:3=16:21 ですので、

 △MCTと直線DEでメネラウスの定理より、

 (MQ/QC)(CL/LT)(TE/EM)=1 、(5/28)(16/37)(TE/EM)=1 、TE/EM=259/20 だから、TE:EM=259:20 、

 EM:TM=20:279 、ME:MR=(20/279)TM:(16/33)TM=20・33:16・279=5・11:4・93 、

 △MQE:△MAR=MQ・ME:MA・MR=5・5・11:44・4・93=25:16・93 、

 △EMQ=25・16S/(16・93)=25S/93 になり、同様に、△FNR=△DLP=25S/93 です。

 △DEF=△ABC-△ARM-△BPN-△CQL+△EMQ+△FNR+△DLP

  =77S-3・16S+3・25S/93=924S/31 、

 △DEF/△ABC=(924S/31)/(77S)=12/31 です。


[解答2]

 太字はベクトルを表すものとします。

 Fは直線NP上にありますので、AF=(1-t)AN+tAP とおけば、

 AF=(1-t)(3/7)AB+t(7AB+4AC)/11=(16t+33)AB/77+4tAC/11 、

 AF=(16t+33)(11/4)AR/77+4t(7/4)AM/11 、

 Fは直線MR上にありますので、(16t+33)(11/4)/77+4t(7/4)/11=1 、(16t+33)/28+t(7/11)=1 、

 11(16t+33)+28・7t=308 、t=-55/372 になり、

 AF=(-16・55/372+33)AB/77-4(55/372)AC/11=(37/93)AB-(5/93)AC です。

 同様に、BD=(37/93)BC-(5/93)BACE=(37/93)CA-(5/93)CB になり、

 ADAB=(37/93)(ACAB)+(5/93)ABAD=(61/93)AB+(37/93)AC

 AEAC=-(37/93)AC-(5/93)(ABAC) 、AE=-(5/93)AB+(61/93)AC

 FDADAF=(8/31)AB+(14/31)ACFEAEAF=(-14/31)AB+(22/31)AC

 よって、△DEF/△ABC=|(8/31)(22/31)-(14/31)(-14/31)|=12/31 です。


[参考]

 AB=(a,b) ,AC=(c,d) とすれば、△ABC=|ad-bc|/2 です。

 FD=pAB+qACFE=rAB+sAC とすれば、

 FD=(pa+qc,pb+qd) ,FE=(ra+sc,rb+sd) ですので、

 △DEF=|(pa+qc)(rb+sd)-(pb+qd)(ra+sc)|/2=|psad+qrbc-psbc-qrad|/2

  =|ps(ad-bc)-qr(ad-bc)|/2=|ps-qr||ad-bc|/2=|ps-qr|△ABC 、

 △DEF/△ABC=|ps-qr| です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいいですね(*´∀`*)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
寒くなりました。
道東はもう20℃になることはないみたいです。
朝の気温も一桁になって
今朝は雪が降ってきた夢を見ました

ゲンノショウコですか?
可愛い野の花ですね。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベン ^^
よくわからず...ズルして正三角形で考えましたぁ ^^;
いつまでたっても、メネラウスもベクトルも使いこなせませんばい...^^;;
Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
何の花でしょうか?
小さな紫の花が綺麗で、水滴も良きアクセントになってますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ゲンノショウコは小さくて可愛い花です。
このような野の花はいつまでも咲いていてほしいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
当方もこのところ寒いですが、もちろん北海道ほどではありません。
ゲンノショウコ、このような野の花が見られるのはいいものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正三角形でも同じ結果になるのは、1次変換の性質から言えます。
それを説明するのは面倒ですので、こんな解答になりました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ゲンノショウコという野の花です。
そちらで見ることはありませんか?

ニリンソウ  
No title

ゲンノショウコはたくさん見かけるけど
赤が滅多に見れません。

樹☆  
No title

こちらは赤の色違いですね。
生薬でよく聞く名前ですね。

今日は気温が下がって寒いくらいでしたよ。
風邪引かないよう注意してくださいね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらでは、割合はよく分かりませんが、両方の色が見られます。
赤も白も魅力的な花ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
生薬として利用されたようですが、花は可愛いです。
ところで、暑かった夏を思えば少々の寒さの方が耐えられます。