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[答1233] 9番目の数の平均

ヤドカリ

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[答1233] 9番目の数の平均


 5以下の自然数のうち異なる4個を選ぶ方法は 次の5通りあります。

 {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}

 この5通りの、小さい方から2番目の数の平均は (2+2+2+3+3)/5=12/5 です。

 では、10000以下の自然数のうち異なる72個を選ぶときの 小さい方から9番目の数の平均は?


[解答1]

 一般化し、n以下の自然数からr個を選ぶときの 小さい方からk番目の数の平均を求めます。

 小さい方からk番目の数がmである選び方は、

 mより小さい数 (m-1)個から(k-1)個を選び、mより大きい数 (n-m)個から(r-k)個を選ぶ、

 m-1k-1n-mr-k 通りありますので、

 小さい方からk番目の数がmである場合の和は m・m-1k-1n-mr-k で、

 m・m-1k-1=m・(m-1)!/{(k-1)!・(m-k)!}=k・m!/{k!・(m-k)!}=k・mk だから、

 k・mkn-mr-k と表されます。

 m=k,k+1,……,k+n-r として、mkn-mr-k の総和は、

 0,1,2,……,n から r+1 個を選ぶときに、

 小さい方からk番目の数がmである場合を m=k,k+1,……,k+n-r として分けて数えたことに

 なりますので、n+1r+1 と等しくなります。

 従って、n以下の自然数からr個を選ぶときの 小さい方からk番目の数の

 合計は k・n+1r+1 になり、平均は k・n+1r+1/nr=k(n+1)/(r+1) です。

 問題文の例では、n=5,r=4,k=2 だから、平均は 2(5+1)/(4+1)=12/5 になり、

 本問では、n=10000,r=72,k=9 だから、平均は 9(10000+1)/(72+1)=1233 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答の一般化

 一般化し、n以下の自然数からr個を選ぶときの 小さい方からk番目の数の平均を求めます.

 選び方の総数は nr 通りであり,これは,同色の球は区別しないとして

 赤球r個と 白球 (n-r)個を一列に並べる並べ方の数と等しい.

 また,小さい方からk番目の数は,

 「赤球のうちで左からk番目にあるものが全体で左から何番目か」に対応する.

 ここで,白球は区別することにしても,この数の平均は不変であり,

 r個の赤球が並んでいるとき,

 1 ~ n-r の番号がついた白球のそれぞれについて,

 赤で区切られた (r+1)個の区画のどこに入るかは等確率であるから,

 k番目の赤よりも左に入る確率は k/(r+1) .

 (ただし,各白球がk番目の赤よりも左に入る確率は独立ではない.)

 期待値の加法性より,k番目の赤よりも左に入る白球の個数の期待値(平均)は

 (n-r)・k/(r+1) (個)であるから,

 求める平均は,k(n-r)/(r+1)+k=k(n-r)/(r+1)+k(r+1)/(r+1)=k(n+1)/(r+1) .

 本問では,n=10000,r=72,k=9 だから,平均は 9(10000+1)/(72+1)=1233 です.

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

コムラサキこちらでも秋の日に実が紫に輝いています(^0_0^)

アキチャン  
No title

おはようございます。
ウチも同じく紫色の実がたわわになっています。(*´∀`*)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

薄紫の真珠、可愛いですね~~
ムラサキシキブと云うのでしたか?

ナイス☆

台風がやってきそうです。
被害なく去ってほしいわ~~

ニリンソウ  
No title

コムラサキの実がたわわに成ってますね~
山のムラサキシキブはまだ色が入ってませんでした。

また台風がきます
被害無く去って欲しい週末です。

樹☆  
No title

こんにちは
たわわに実ってるから
コムラサキでしょうか。
小粒でも美しいですね。

3連休お楽しみください。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
其方でも紫の実が輝いていますか。
花と違って、割に長い間楽しめますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そうですか。其方でもたわわに実っていますか。
もうしばらく楽しめそうですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道は普通は台風の心配をしなくていいのに、今年は進路が気になりますね。
地震で地盤が弱くなっていることも気がかりです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コムラサキの紫色は、花のときよりよく目立ちます。
ところで、日本海を通ると予想されている台風、
台風への南の空気の移動で、蒸し暑いです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コムラサキ、色が綺麗で美しいです。
子供の頃に見た蝶のコムラサキも魅力的なのですが、
永らく出会っていません。

POPS  
No title

こんばんは。
コムラサキ、綺麗に色づきましたね。
小さな葡萄の実の様にも見えて、良い感じですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花に比べて、実の方は長く見られます。
秋はいろんな実が目立つようになりますね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...
わかりそうでわかりませんでした ^^;
解答読んでも...「;^・・・^;」です...
わたしにゃ難問...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]はよく読めば単純なことをしています。
ゆっくり見てくださいね。