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[答1235] 長方形と三角形の内接円

ヤドカリ

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[答1235] 長方形と三角形の内接円


 図のように、長方形ABCDの 辺BC上に 点Eがあって、△ABE,△AEC,△ACDの内接円の半径が

 それぞれ 3,4,5 になるとき、AB=? AD=?


[解答1]

 AB=x ,AD=y ,BE=z とすれば EC=y-z です。

 △ABEで Aから接点までの長さは x-3 ,Eから接点までの長さは z-3 だから、AE=x+z-6 、

 三平方の定理により、(x+z-6)2=x2+z2 、2xz-12x-12z+36=0 、z=6(x-3)/(x-6) で、

 △ACDで Cから接点までの長さは x-5 ,Aから接点までの長さは y-5 だから、AC=x+y-10 、

 三平方の定理により、(x+y-10)2=x2+y2 、2xy-20x-20y+100=0 、y=10(x-5)/(x-10) です。

 2△AEC=EC・AB=4(AE+EC+CA) より (y-z)x=4(x+z-6+y-z+x+y-10) 、

 (y-z)x=4(2x+2y-16) 、(y-z)x=8(x+y-8) 、

 {10(x-5)/(x-10)-6(x-3)/(x-6)}x=8{x+10(x-5)/(x-10)-8} 、

 {5(x-5)(x-6)-3(x-3)(x-10)}x=4(x-6){x(x-10)+10(x-5)-8(x-10)} 、

 {5(x2-11x+30)-3(x2-13x+30)}x=4(x-6)(x2-10x+10x-50-8x+80) 、

 (2x2-16x+60)x=4(x-6)(x2-8x+30) 、(x2-8x+30)x=2(x-6)(x2-8x+30) 、

 ここで、x2-8x+30=(x-4)2+14>0 だから、x=2(x-6) 、x=12 になり、

 y=10(x-5)/(x-10)=10(12-5)/(12-10)=10・7/2=35 です。

 AB=12 ,AD=35 です。


[解答2]

 AB=x ,AD=y ,BE=z とすれば EC=y-z です。

 △ACDで Cから接点までの長さは x-5 ,Aから接点までの長さは y-5 だから、AC=x+y-10 、

 △ABEで Aから接点までの長さは x-3 ,Eから接点までの長さは z-3 だから、AE=x+z-6 、

 △ACD=5(CD+AD+AC)/2=5(x+y+x+y-10)/2=5(x+y-5) 、

 △AEC=4(AE+AC+EC)/2=4(x+z-6+x+y-10+y-z)/2=4(x+y-8) 、

 △ABE=△ACD-△AEC=5(x+y-5)-4(x+y-8)=x+y+7 になり、

 △ABE=3(AB+BE+AE)/2=3(x+z+x+z-6)/2=3(x+z-3) だから、

 3(x+z-3)=x+y+7 、3z=-2x+y+16 です。

 また、△AEC=EC・AB/2=(y-z)x/2=4(x+y-8) だから、3xy/2-3xz/2=12(x+y-8) 、

 3xy/2-x(-2x+y+16)/2=12(x+y-8) 、xy-12y+x2-20x+96=0 、y(x-12)+(x-8)(x-12)=0 、

 (x+y-8)(x-12)=0 、ここで、x+y-8=AC+2>0 ですので、x=12 、

 △ACD=AD・DC/2=xy/2 だから、xy/2=5(x+y-5) 、12y/2=5(12+y-5) 、y=35 です。

 AB=12 ,AD=35 です。

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

トロロアオイかな……
和紙に使う糊にトロロアオイの根がよく使われるそうですネ
青い空に花びらの色が

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
レモンイエローの花オクラかな
大きめだからハナオクラかな? どっちにしても食べれる
ようですね。
又週末は晴れが戻ってきそうです良い休日を!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いかにも3:4:5がらみかと思うもうまくいかず...^^;
面積と三平方の定理とtan半角が等しいという式を作ってPCにお願いしましたわ...Orz...
手計算ではわたしにゃ無理ですばい...^^;;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真には写っていませんが、後方にオクラの実がありましたので、
普通のオクラだと思って撮りました。トロロアオイかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オクラも見頃が過ぎ、僅かに残っていたものを撮りました。
近づいて下から撮ったので大きく写りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答2]は、半角も三平方も使わず、ひたすら面積を利用しました。
如何に計算しやすい式を導くかも大切なことです。

POPS  
No title

こんばんは。
オクラの花でしょうか?
立派に咲いていて綺麗ですね~。
今年は見れませんでした。
ナイス

樹☆  
No title

こんばんは
今年の夏はオクラを一杯
食べましたよ。
暑さに負けないようネバネバは
よかったようです。
最近は秋バテというものもあると聞きました。注意しましょう。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
おっしゃる通り、オクラの花です。
見頃の季節は過ぎましたので、残っていてよかったです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今年は粘り強くなられたようですね。
秋の初めは、気温差も大きく、夏の疲れも出やすいので、
秋バテだけでなく、食中毒も多いようですよ。