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[答1236] 式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1236] 式の値


 y=(1+x2)/(1+x)+2x/(1+x2)+(x+x2)/(1+x3)+(1+x3)/(1+x4) において、

 x=cos72゚+i・sin72゚ のとき、y=?



[解答]

 x5=1 であることに注意して、

 y=(1+x2)/(1+x)+2x/(1+x2)+(x3+x4)/(x2+x5)+(x+x4)/(x+x5)

  =(1+x2)/(1+x)+2x/(1+x2)+(x3+x4)/(1+x2)+(x+x4)/(1+x)

  =(1+x+x2+x4)/(1+x)+(2x+x3+x4)/(1+x2)

  =(x+x2)/(1+x)+(1+x4)/(1+x)+(x+x3)/(1+x2)+(x+x4)/(1+x2)

  =x+(x+x5)/{x(1+x)}+x+(x2+x5)/{x(1+x2)}

  =x+1/x+x+1/x=2(x+1/x)=2(cos72゚+i・sin72゚+cos72゚-i・sin72゚)=4cos72゚ ですので、

 cos72゚=(√5-1)/4 を使えば、y=√5-1 です。

 cos72゚ の値を使わなければ、

 x5-1=0 より、(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=0 、

 x≠1 だから、x4+x3+x2+x+1=0 、x2+x+1+1/x+1/x2=0 、

 (x+1/x)2+(x+1/x)-1=0 、x+1/x=(-1±√5)/2 、y=2(x+1/x)=-1±√5 、

 y=4cos72゚>0 ですので、y=-1+√5 です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
うつむいて咲いているので撮りにくいですが、青空に映えてきれいですね(*´∀`*)

ひとりしずか  
No title

エンジャルトランペット大きな花ですよネ
花色白、桃、赤、黄色いがあるようで~

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
大方同様の流れで式変形しました ^^v
x+1/xは...x^4+x^3+x^2+x+1=0
から求められるのですねぇ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
キダチチョウセンアサガオ、うつむいて咲いていますが、
見上げるとなかなか魅力的な花です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
エンジェルトランペット、花の色は何色かありますが、
大きくて立派ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
cos72゚ の値をそのまま使ってよいものかどうか、少し迷います。
それで、方程式からも求められることを示しました。

POPS  
No title

こんばんは。
俯いて咲くこの花は何でしょう?
青空の真下で咲いているのも不思議な感じがしますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
キダチチョウセンアサガオの花です。
形からエンジェルトランペットとも言います。

ニリンソウ  
No title

この色もいいですね。
エンジェルトランペット育てるの難しかったです。
沢山咲いたけど冬越しでダメにしました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
育てたことがないので分かりませんが、
エンジェルトランペットは難しいのですね。