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[答1237] 二等辺三角形と2つの円

ヤドカリ

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[答1237] 二等辺三角形と2つの円


 AB=AC である 二等辺三角形ABCに 等しい半径の2つの円を、どの円も2辺に接し、

 円どうしが外接するように並べた2種類の図があります。

 BCに接する2円と ABに接する2円の半径の比が 379:444 のとき、cos∠ABC=?


[解答]

 BCの中点を M とし、接点を図のように D,E,F,G とします。

 また、BCに接する2円の半径を r ,ABに接する2円の半径を kr ,AD=ar ,BD=br とします。

 三平方の定理より AB2=AM2+BM2 、(ar+br)2=(ar+r)2+(br+r)2 、(a+b)2=(a+1)2+(b+1)2

 a2+2ab+b2=a2+2a+1+b2+2b+1 、ab=a+b+1 、b(a-1)=a+1 で、

 (b+1)(a-1)=b(a-1)+a-1=a+1+a-1=2a 、1/(b+1)=(a-1)/(2a) です。

 AB=AF+FG+GB より、ar+br=kr(ar+r)/(br+r)+2kr+kr・br/r 、a+b=k(a+1)/(b+1)+2k+kb 、

 a+b=k(a+1)(a-1)/(2a)+2k+kb 、a(a-1)+b(a-1)=k(a+1)(a-1)2/(2a)+2k(a-1)+kb(a-1) 、

 a(a-1)+a+1=k(a+1)(a-1)2/(2a)+2k(a-1)+k(a+1) 、a2+1=k(a+1)(a-1)2/(2a)+3ka-k 、

 2a3+2a=ka3-ka2-ka+k+6ka2-2ka 、(2-k)a3-5ka2+(2+3k)a-k=0 、

 k=444/379 だから、314a3/379-2220a2/379+2090a/379-444/379=0 、

 157a3-1110a2+1045a-222=0 、(a-6)(157a2-168a+37)=0 、a>1 だから a=6 です。

 また、b(a-1)=a+1 だから、5b=7 、b=7/5 です。

 cos∠ABC=BM/AB=(br+r)/(ar+br)=(5b+5)/(5a+5b)=(7+5)/(30+7)=12/37 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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ヒオウギの実ですネ
どれくらいの種が詰まっているのでしょう~

アキチャン  
No title

おはようございます。
弾けると、こんなに黒い実が出てくるのですね!びっくりですヽ(´Д`;)ノ

ほんとはメゾソプラノ  
No title

おはようございます

実りの季節ですね
小さい種でしょうか?
つやつや、ブドウのような色で、なんだかおいしそうです

ニリンソウ  
No title

ヒオウギが弾けましたね!
黒髪のように艶艶です。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同様に考えて求めましたぁ^^v
算額にあっても良さそうな問題ですね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒオウギの実は本当に黒いですね。
数は数えていませんが、写真に写っているのと変わらないと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黒や闇の枕詞の「ぬばたま」がこの実です。
黒光りしていました。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントをありがとうございます。
小さい実ながら、黒い色が目立ちます。
「射干玉(ぬばたま)」と呼ばれます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ぬばたまはこのように見ることがありますが、
ニリンソウさんの仰る艶艶の黒髪を見ることはなくなりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
算額のような図を思いつき、作問したのですが、
計算は面倒なものになってしまいました。

POPS  
No title

こんばんは。
黒い実が艶やかですね~。
ほおずきっぽく見えて、この様な実を見ると秋の深まりを感じますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この実は「ぬばたま」と呼ばれるヒオウギほ実です。
秋だなぁと感じる対象ですね。