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[答1238] 双曲線と直線の共有点

ヤドカリ

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[答1238] 双曲線と直線の共有点


 双曲線 x2/28-y2/7=-1 と (-2,1)を通る直線が1点だけを共有するときの傾きは?


[解答1]

 直線の傾きを m とすれば、直線は y=m(x+2)+1 、y=mx+2m+1 で表されます。

 双曲線 x2/28-y2/7=-1 は x2/4-y2+7=0 で表されるので、y=mx+2m+1 を代入し、

 x2/4-(mx+2m+1)2+7=0 、(1/4-m2)x2-2m(2m+1)x-(2m+1)2+7=0 、

 この方程式の実数解の個数が共有点の個数と一致します。

 m=1/2 のとき 1次方程式で解は1個 ,m=-1/2 のとき 解はありません。

 m≠±1/2 のとき 2次方程式なので、判別式は、

 {2m(2m+1)}2-4(1/4-m2){-(2m+1)2+7}=0 、

 4m2(2m+1)2+(2m+1)(2m-1){-(2m+1)2+7}=0 、

 m≠-1/2 だから、4m2(2m+1)+(2m-1){-(2m+1)2+7}=0 、

 4m2(2m+1)-(2m-1)(2m+1)2+7(2m-1)=0 、(2m+1){4m2-(4m2-1)}+14m-7=0 、

 16m-6=0 、m=3/8 です。

 まとめて、 m=1/2,3/8 です。


[解答2]

 x軸方向に 2 ,y軸方向に -1 平行移動すると、

 双曲線 x2/28-y2/7=-1 すなわち x2/4-y2+7=0 は、

 (x-2)2/4-(y+1)2+7=0 、x2/4-x+1-y2-2y-1+7=0 、x2/4-y2-x-2y+7=0 になり、

 これが、原点を通る直線 y=mx と1点だけを共有すればよい。

 y=mx を代入して x2/4-m2x2-x-2mx+7=0 、(1/4-m2)x2-(2m+1)x+7=0 、

 この方程式の実数解の個数が共有点の個数と一致します。

 m=1/2 のとき 1次方程式で解は1個 ,m=-1/2 のとき 解はありません。

 m≠±1/2 のとき 2次方程式なので、判別式は、

 (2m+1)2-4(1/4-m2)・7=0 、(2m+1)2+7(4m2-1)=0 、

 m≠-1/2 だから、(2m+1)+7(2m-1)=0 、16m-6=0 、m=3/8 です。

 まとめて、 m=1/2,3/8 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

コルチカム、サフランと思っている方がいます(わたしも以前混同して)
優しい色が好きです~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
最初、1点=接線という発想のしがらみから逃れられず...^^;
で、暫時の悩みの末、漸近線に平行でも可能なことに気づけましたぁ ^^;;v
目から鱗がまたポロリ♪ Orz~

ニリンソウ  
No title

イヌサフランかな。。。花が大きくてすぐ倒れてしまいます。
鮮やかな色ですね。
良い秋晴れが続いています。

樹☆  
No title

こんばんは
イヌサフランでしょうか?
すごい毒があるそうです。こんなにきれいなのにね。

朝、夕は冷えてきてます。
風邪引かないようにしてくださいね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サフランとは別種ですが、私は「イヌサフラン」と覚えましたので、
コルチカムの名前はすぐに出てきません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
2乗の係数が0になれば、2次方程式でなく判別式が使えません。
係数が文字のときは注意が必要です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
イヌサフランの花は鮮やかな色で目を惹きます。
ところで、此方も秋晴れが続いています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
イヌサフランは猛毒のようですね。
ヒガンバナのように花だけが咲いているのでそんな感じがします。
ところで、天気がいいと放射冷却もあり気温差が大きいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
紫色の花ビラが綺麗で、茎が随分と細いものなのですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
イヌサフランの花です。
花弁は綺麗な色ですが、有毒植物です。

アキチャン  
No title

こんばんは
地面から綺麗な色が咲くものですよね😃

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
イヌサフランの花です。
彼岸花もそうですが、葉がなく、有毒です。