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[答1239] 辺と垂直な対角線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1239] 辺と垂直な対角線


 四角形ABCDがあって、対角線AC,BDの交点をPとします。

 ∠CAD=∠CBD=90゚ ,169AB=AC=AD のとき、BP:BC=? また、BC:BD=? 

 なお、図は不正確です。


[解答]

 四角形ABCDは CDを直径とする円に内接します。

 △PAB∽△PDC より、AP:DP=AB:DC=AB:AC√2=AB:(169√2)AB=1:169√2 なので、

 AP:AD=1:√{(169√2)2-12}=1:√(2・1692-1)=1:239 です。

 よって、AP:AD:DP=1:239:169√2 になり、

 △PBC∽△PAD より、BP:BC:CP=AP:AD:DP=1:239:169√2 ですので、

 BC=239BP ,CP=(169√2)BP ,AD=239AP ,DP=(169√2)AP です。

 また、AD=AC=AP+PC より、239AP=AP+(169√2)BP 、238AP=(169√2)BP です。

 BC:BD=BC:(BP+PD)=239BP:{BP+(169√2)AP}=238・239BP:{238BP+238・(169√2)AP}

  =238・239BP:{238BP+(169√2)2BP}=238・239:(238+2・1692)

  =238・239:(239+2・1692-1)=238・239:(239+2392)=238:(1+239)=119:120 です。

 まとめると、BP:BC=1:239 ,BC:BD=119:120 です。


☆ マチンの公式 4arctan(1/5)-arctan(1/239)=π/4 から、

 4arctan(1/5)=arctan(120/119)-arctan(1/239)=π/4 、

 arctan(120/119)-π/4=arctan(1/239) を使って作問しました。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

何という花?ちょっと変わっているような~
5つの花に囲まれてシベ?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
4arctan(1/5)=arctan(120/119) ですね...
そうなる計算がよくわからなかったので、調べましたわ ^^;
1/239が求まれば...図から、120/119が出るわけでしたのね☆
作問の背景...慧眼っす♪
わたしゃ...ピタゴラスと相似で計算しまくり...^^;; Orz~

樹☆  
No title

こんにちは
白ホトトギスに似たお花ですが・・
なんでしょう。
こちらお昼から雨となりました。

ニリンソウ  
No title

マツムシソウですね!
優しい色で秋の山路を招きます。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
マツムシソウという代表的な秋の花です。
形の整った野草ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
1239 の番号を見れば 1/239 というマチンの公式が浮かびます。
119,120,169の直角三角形は二等辺三角形に近く、
斜辺が平方数である見事なものです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
マツムシソウという代表的な秋の花です。
ところで、この雨を境に一気に晩秋だそうです。
霜降も過ぎ、次の二十四節気はいよいよ立冬です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウさんには馴染みの花ですね。
この花の優しい上品な色合いがいいです。

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
シベが独特で、個性的でも綺麗に咲いてますね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
マツムシソウという代表的な秋の花です。
形の整った野草だと思います。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
シャガに似ていますが秋ですものね(笑)マツムシソウと言うお花なんですね。
薄紫色がいいですね(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真では判りませんが、シャガとは大きさが全然違います。
このいろが上品でいいなぁと私も思います。