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[答1241] 正接が等差数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1241] 正接が等差数列


 AB=65,AC=73 の △ABCにおいて、tanA,tanB,tanC がこの順に等差数列になるとき、BC=?


[解答]

 A+B+C=π なので、tan(A+B)=-tanC 、(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC 、

 tanA+tanB=-(1-tanAtanB)tanC 、tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC 、

 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC です。

 tanA,tanB,tanC がこの順に等差数列ですので、tanA+tanC=2tanB が成り立ち、

 3tanB=tanAtanBtanC 、tanB≠0 ですので、3=tanAtanC です。

 ここで、tanA,tanB,tanC の少なくとも2個は正の数ですので、

 tanAtanC>0 より、tanA>0,tanC>0 になり、tanB>0 ですので、△ABCは鋭角三角形です。

 △ABCで、BH⊥AC となるように、辺AC上にHをとり、AH=x,CH=y,BH=h とおけば、

 x+y=73 、三平方の定理より x2+h2=652 ,BC2=h2+y2 です。

 また、tanA=h/x ,tanC=h/y であり、tanAtanC=3 より、(h/x)(h/y)=3 、h2=3xy です。

 x2+h2=652 より、x2+3xy=652 、3x(x+y)-2x2=652 、3x(x+y)-2x2=652 、3・73x-2x2=652

 2x2-219x+(5・13)2=0 、(x-25)(2x-169)=0 、x<73 だから、x=25 ,y=48 になります。

 従って、BC2=h2+y2=3xy+y2=y(3x+y)=48・123 、BC=(4√3)(√3)(√41)=12√41 です。

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Comments 13

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ひとりしずか  
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これは?
青い空にやさしい花びらの色~

スモークマン  
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グーテンターク ^^
上手く解けるものですね☆
わたしゃ、またもや立式をPCにお願いしましたです ^^;

*算チャレ...入れないまんまですだ...^^;;

ゆうこ つれづれ日記  
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こんにちは~
ヤドカリさん地方も朝晩の気温が下がって
昼間の気温との差が大きいのでしょうか・・・
そのような季節ですから
風邪がずい分流行っているようです。
気を付けて生活したいですね。

お花に、ナイス☆

ニリンソウ  
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こんにちは~
青空いいですね、こちらやっと今日が青空になりました。
綺麗なピンクの花は? 蕾みるとアオイのようだけど
棉の花?

ヤドカリ  
No title


写真はサキシマフヨウの花です。
先島は宮古・八重山諸島の総称です。
サキシマフヨウは鹿児島県西部の島から
琉球にかけて分布します。
樹高は数m程度です。
他のアオイ科の花がほとんど終わった
10月~12月に咲くのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、サキシマフヨウの花です。
花びらの色も好きです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
手計算でちゃんと解けるように作問しているでしょ。
ところで、算チャレの先週の問題は、私が見た時には変更されていました。
変更されてから載っている名前は「不正解者一覧」だと思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらも寒くなってきて気温差が大きいです。
マスクをしている人もかなりいます。
お互い、気を付けないといけませんね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
上に記しましたように、サキシマフヨウです。
この花を見ると、アオイ科の花の見納めです。

POPS  
No title

こんばんは。
この花はフヨウでしょうか?
青空に向かって白い花が綺麗で、清潔感があっていいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、サキシマフヨウです。
今の時期に咲く珍しいフヨウです。

アキチャン  
No title

サキシマフヨウというのですね。
青空に映えてきれいです(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アオイ科の花がこの時期に見られるのは嬉しいです。
アオイ科の花の今年の見納めです。