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[答1243] 式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1243] 式の値


 a2+b2+c2=3 ,1/a2+1/b2+1/c2=1/3 のとき、 1/(a10+b10+c10)=?


[解答1]

 a2=A ,b2=B ,c2=C として、

 A+B+C=3 ,1/A+1/B+1/C=1/3 のときの 1/(A5+B5+C5) の値を求めます。

 1/A+1/B+1/C=1/3 の両辺に 3ABC を掛けて、3(BC+CA+AB)=ABC になり、

 BC+CA+AB=k とおけば、ABC=3k 、A+B+C=3 だから、

 x3-3x2+kx-3k=0 の解が x=A,B,C になります。

 x3-3x2+kx-3k=(x-3)(x2-k) だから、{ A,B,C }={ 3,√k,-√k } になり、

 1/(A5+B5+C5)=1/(35+k2√k-k2√k)=1/243 です。


[解答2]

 a2=A ,b2=B ,c2=C として、

 A+B+C=3 ,1/A+1/B+1/C=1/3 のときの 1/(A5+B5+C5) の値を求めます。

 A+B+C=3 の両辺に 32 を掛けて、32(A+B+C)=33

 1/A+1/B+1/C=1/3 の両辺に 3ABC を掛けて、3(BC+CA+AB)=ABC 、

 よって、33-32(A+B+C)+3(BC+CA+AB)-ABC=0 、

 (3-A)(3-B)(3-C)=0 、A=3 ,B=3 ,C=3 のいずれかが成り立ちます。

 A=3 のとき、A+B+C=3 より B+C=0 ,C=-B ですので、

 1/(A5+B5+C5)=1/(35+B5-B5)=1/243 、

 同様に、B=3 ,C=3 の場合も 1/(A5+B5+C5)=1/243 になり、

 1/(a10+b10+c10)=1/243 です。


[解答3]

 a2=A ,b2=B ,c2=C として、

 A+B+C=3 ,1/A+1/B+1/C=1/3 のときの 1/(A5+B5+C5) の値を求めます。

 (A+B+C)(1/A+1/B+1/C)=1 だから、(A+B+C)(BC+CA+AB)=ABC 、

 (B+C)(BC+CA+AB)+A(BC+CA+AB)=ABC 、(B+C)(BC+CA+AB)+A(CA+AB)=0 、

 (B+C)(BC+CA+AB+A2)=0 、(B+C)(C+A)(A+B)=0 、

 B+C=0 ,C+A=0 ,A+B=0 のいずれかが成り立ちます。 

 A+B+C=3 だから、B+C=0 の場合は A=3 ,C=-B ですので、

 1/(A5+B5+C5)=1/(35+B5-B5)=1/243 、

 同様に、C+A=0 ,A+B=0 の場合も 1/(A5+B5+C5)=1/243 になり、

 1/(a10+b10+c10)=1/243 です。

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Comments 11

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
風が強いです、紅葉始めた庭木も葉っぱが落ちて飛びます。
気温は高め・・空はくらい。
行く事はないそちらではまだ花が咲いていますね
優しい紫の花は何でしょう。

ひとりしずか  
No title

ブルーの花に黄色のシベが目立ってて~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答3]の式が得られましたが...PCで...^^;
[解答1]に気づけなかったのが悔やまれますばい ^^;; Orz~

今回も算チャレ気づけないまんま...冴えない...^^;;;

POPS  
No title

こんばんは。
この花も綺麗に咲いていて、水滴もまた良きアクセントになってますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title


写真の花はエゾノハナシノブという、
北海道に分布する花です。
咲くやこの花館で見ました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、エゾノハナシノブという花です。
珍しい花を見られるのは有難いことです。
ところで、当方では今が紅葉の真っ盛り、見に行かなくっちゃと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、エゾノハナシノブという花です。
この色の花は珍しいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]~[解答3]は同じような解き方です。
好みの解き方でいいでしょう。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、エゾノハナシノブという花です。
綺麗な色の花でした。

樹☆  
No title

エゾノハナシノブ?
偲ぶってなんとなくイメージがありますね。
北海道でみられるお花かな?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
北海道は植生がこちらと違いますので珍しい花が見られるようです。
そんな花を咲くやこの花館で簡単に見られるのは有難いです。