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[答1245] 3辺が等しい等脚台形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1245] 3辺が等しい等脚台形


 x>8 とします。4辺が 8,8,8,x の等脚台形と 4辺が 8,x,x,x の等脚台形とが、

 等しい半径の外接円をもつとき、x=?


[解答1]

 AB=BC=CA=a ,AD=b (a≠b) の等脚台形を考えると、トレミーの定理より、

 AC・BD=AB・CD+AD・BC だから、AC2=a2+ab です。

 また、凧形ABCEを考え、外接円の直径 BE=d とします。

 三平方の定理より、EA2=EC2=d2-a2

 凧形の面積は、BC・EC=BE・AC/2 だから、BE2・AC2=4BC2・EC2 、d2AC2=4a2(d2-a2) 、

 d2(a2+ab)=4a2(d2-a2) 、d2(a+b)=4a(d2-a2) 、4a3=d2(3a-b) 、d2=4a3/(3a-b) です。

 辺の長さが a,a,a,b の等脚台形と a,b,b,b の等脚台形と外接円の直径が等しいとき、

 4a3/(3a-b)=4b3/(3b-a) 、b3(3a-b)=a3(3b-a) 、a4-b4-3a3b+3ab3=0 、

 (a2+b2)(a2-b2)-3ab(a2-b2)=0 、(a2-3ab+b2)(a2-b2)=0 、a2-3ab+b2=0 です。

 a=x,b=8 とすれば、x2-24x+64=0 、x=12±4√5 、x>8 より x=12+4√5 です。


[解答2]

 右図のように、辺の長さが 8,8,8,x の等脚台形3個と 8,x,x,x の等脚台形1個とを

 同じ円に内接させると 正十角形ができ、円の半径をRとすれば、x=2Rsin54゚,8=2Rsin18゚ で、

 x=2Rsin54゚=2R(3sin18゚-4sin318゚)=(2Rsin18゚)(3-4sin218゚)=8{3-4(1-cos36゚)/2}

  =8(1+2cos36゚)=8+16cos36゚=8+16(1+√5)/4=12+4√5 です。

☆ cos36゚ については https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html 参照。

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Comments 12

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アキチャン  
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おはようございます。
ホトトギス…日に透かされて違った表情が見えます(*´∀`*)

ひとりしずか  
No title

ホトトギスも惹かれる花です

ゆうこ つれづれ日記  
No title

このお花はホトトギスですよね。
道東は気温が低いので2年ほどしたら消えてしまいました。

紅葉も見えるようになりましたか?
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
トレミーとピタゴラスとPCとで求めましたぁ...^^;
[解答2]の形は言われるまで気づきませんでしたわ☆
cos36°=(√5+1)/4 は覚えておくべきですかね ^^;v Orz~

樹☆  
No title

こんばんは
雨が降って随分寒くなりました。
秋が深くなり・・いよいよ冬ということでしょうか。

このお花はなんでしょう。
かのこゆりのような斑点がありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
日が差し込んで、ホトトギスが輝いていました。
たまにはこんな写真を撮ることもあります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ホトトギスの花弁の模様も面白いですね。
魅力的な花でもあります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ホトトギスも道東の冬の寒さに耐えられなかったのでしょうか。
ところで、紅葉はこちらでも進みつつあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
cos36゚の値は覚える必要はありませんが、求められるようにしたいです。
[解答2]の形からこの問題を思いつきました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今夏の猛暑が嘘のように、近頃は冷えますね。
ところで、この花はホトトギスです。光が面白く当たっていたので撮りました。

POPS  
No title

こんばんは。
ホトトギス綺麗に咲いてますね~。
今年は見ることが無かったので、画像で楽しませていただきました。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ホトトギスはよく見られる花なので、
光の差し込んで輝く姿に出会い、撮ることが出来ました。