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[答1246] 最大値と整数解

ヤドカリ

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[答1246] 最大値と整数解


(1) x2+y2+z2=142 を満たす実数 x,y,z について、6x+2y+3z の最大値は?

(2) x2+y2+z2=142 ,x+3y+2z=12 を満たす整数の組(x,y,z)=?


[解答]

(1) コーシー・シュワルツの不等式より、(62+22+32)(x2+y2+z2)≧(6x+2y+3z)2

 72・142≧(6x+2y+3z)2 、-7・14≦6x+2y+3z≦7・14 、-98≦6x+2y+3z≦98 です。

 ここで、6x+2y+3z=98 となるのは、x:y:z=6:2:3 のときであるので、

 x=6k,y=2k,z=3k とおけば、6・6k+2・2k+3・3k=98 、49k=98 、k=2 となり、

 x=12,y=4,z=6 のとき 6x+2y+3z は最大値 98 をとります。

(2) (偶数)2≡0 ,(奇数)2≡1 (mod 4) ,|x|2+|y|2+|z|2=142≡0 (mod 4) だから、

 x,y,z はすべて偶数で、|x/2|2+|y/2|2+|z/2|=72≡1 (mod 4) 、

 よって、|x/2|,|y/2|,|z/2| の1つは奇数で他2つは偶数です。

 |x/2| が奇数で、|y/2|,|z/2| が偶数で、|y/2|≧|z/2| の場合、

  |y/2|2+|z/2|=72-|x/2|2 、|y/4|2+|z/4|=(72-|x/2|2)/4 、

  |x/2|=7 のとき |y/4|2+|z/4|=0 、|y/4|=0,|z/4|=0 、(|x|,|y|,|z|)=(14,0,0) 、

  |x/2|=5 のとき |y/4|2+|z/4|=6 、これを満たす |y/4|,|z/4| は存在せず 、

  |x/2|=3 のとき |y/4|2+|z/4|=10 、|y/4|=3,|z/4|=1 、(|x|,|y|,|z|)=(6,12,4) 、

  |x/2|=1 のとき |y/4|2+|z/4|=12 、これを満たす |y/4|,|z/4| は存在しません。

 他の場合も同様で、(|x|,|y|,|z|)=(14,0,0),(0,14,0),(0,0,14),

  (6,12,4),(6,4,12),(12,6,4),(12,4,6),(4,12,6),(4,6,12) です。

 x+3y+2z=12 は x/12+y/4+z/6=1 と変形できて、

 左辺が整数になるのは、(|x|,|y|,|z|)=(12,4,6) のときのみで、

 (x,y,z)=(-12,4,6),(12,-4,6),(12,4,-6) です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

アサガオがまだ生き生きと咲いているんですネ
当方はほとんど枯れて、咲いても花が小さい~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[1]は球と平面との距離で...^^
コーシーシュワルツの使い方にいつまで立っても慣れましぇん ^^;
[2]は、最初、球と平面でできる円上の点で満たすものを考えていましたがよくわからず、結局、同じような方法に帰着しましたぁ ^^v Orz~

ニリンソウ  
No title

晩秋に朝顔ですか!
綺麗な色が並んで丁度いい時に撮りましたね。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
朝顔が日に当たって綺麗ですね~。
晩秋でもまだまだ元気に咲いてますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
琉球アサガオは、この時期でも花を咲かせています。
もう少し楽しめると思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コーシー・シュワルツはベクトルの内積で考えられ、
結局は、球と平面の距離に帰着します。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
琉球アサガオは、涼しくなると花は翌日までもつようになり、
色はオーシャンブルーからピンクに変化しますので、
両方を狙って撮りました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
琉球アサガオは、この時期でも元気に花を咲かせます。
そして、朝日に輝くと綺麗だと思います。

アキチャン  
No title

琉球朝顔は今の時期でもきれいですね♪(*´∀`*)
イメージは夏に感じますが…。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
夏はもっとオーシャンブルーの青が濃いような気がします。
萎れていないピンクの花が見られると秋ですよ。