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[答1247] 8倍に81を加えると平方数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1247] 8倍に81を加えると平方数


 n=5 のとき 8n+81=121 ,n=11 のとき 8n+81=169 です。

 n=5,11 のように 8n+81 を計算すると平方数になるような自然数を小さいものから、

 5,11,…… と並べるとき、86番目の自然数は? また、86番目までの和は?


[解答]

 8n+81=N2 (N>9)とすれば、8n=(N-9)(N+9) で、

 N-9 が奇数であれば N+9 も奇数で 成り立ちません。

 従って、N-9 は偶数で、N-9=2k (kは自然数)と表すことができて、

 8n=(N-9)(N+9)=2k(2k+18) 、n=k(k+9)/2 になります。

 このとき、k,k+9 の片方は偶数になりますので、n は必ず自然数になります。

 86番目は k=86 のときで、n=86・95/2=4085 です。

 また、n=k(k+9)/2=k2/2+9k/2 だから、86番目までの和は

 (12+22+32+……+862)/2+9(1+2+3+……+86)/2

 =86・87・173/6/2+9・86・87/2/2=86・87・(173+27)/12=86・87・200/12=43・29・100=124700 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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6時ころから雪~初雪です!

赤い実が元気をくれました(^0_0^)

ニリンソウ  
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おはようございます。
こんな青空がみたいです・・・いつかな?
こちらの空はきょうも冬、さっきはあられが転がった。

この赤い実はサンシュユ? グミかな勤労感謝の日
ゆっくりお休みください。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしゃ...平方数=(4m±1)^2 と置いて考えましたが...
貴殿の解法がスマートね♪

ちょい寒くなって来ました...常に暖かくしてないと風邪ひきそ ^^; Orz~

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんにちは~
この赤い実はなんというのでしょうか
子どもの頃食べてみたくなって、
食べたらすっぱかったのに似ています

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
とうとう東北でも初雪のようですね。寒いですね。
ところで、赤い実はサンシュユの実です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
サンシュユの実です。アップで撮りました。
葉は9月の台風の影響で枯れたものです。枝も少なくなりました。
来年も黄色の花を咲かせてほしいものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
昨日までは晩秋で、今日から初冬だと気象情報で言っていました。
本当に、一段と寒くなりましたね。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントとナイス!を有難うございます。
赤い実はサンシュユの実です。
春に黄色の花を咲かせ、春の訪れを感じさせてくれる樹です。

POPS  
No title

こんばんは。
この赤い実じゃ何でしょう?
ハナミズキの実の様に艶やかな赤が綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!を有難うございます。
赤い実はサンシュユの実です。
ハナミズキよりだいぶ早く、春に黄色の花を咲かせます。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
青い空に、熟れ気味の赤いサンシュユの実が綺麗です(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
残念ながら、9月の台風で葉が枯れています。
来年の春の黄色の花が咲いてくれることを願っています。