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[答1248] ナイトの動き

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1248] ナイトの動き


 チェスのナイトは前の斜め前,後ろの斜め後ろ,右の斜め右,左の斜め左に動ける駒です。

 n×n のチェス盤の1ヶ所にナイトを置くときの動ける場所の数は、

 ナイトを置く場所によって異なりますが、その総和を K(n) とします。

 例えば、8×8 の盤では、図のように、緑の所では2ヶ所,黄の所では6ヶ所,青の所では8ヶ所,

 赤の所では3ヶ所、すべてを調べれば、K(8)=336 であることが分かります。

 では、K(m)-K(n)=10000 を満たす自然数の組(m,n)のうち、m-n が最大の組について、

 K(n)=? また、K(m+2)=?


[解答]

 K(1)=0 ,K(2)=0 ,K(3)=8 で、n≧4 のとき、

 右図のように、n×n の盤に、動ける場所の数を書き込み、和を求めると、

 K(n)=2・4+3・8+4・4+4・4(n-4)+6・4(n-4)+8(n-4)2=48+40(n-4)+8(n-4)2

  =8{(n-4)2+5(n-4)+6}=8(n-4+3)(n-4+2)=8(n-1)(n-2) です。

 K(n)=8(n-1)(n-2) は、n=1,2,3 のときも成り立ちます。

 K(m)-K(n)=10000 より、8(m-1)(m-2)-8(n-1)(n-2)=10000 、

 (m-1)(m-2)-(n-1)(n-2)=1250 、(m-1)(m-2)≧1250 、

 35・34=1190 ,36・35=1260 だから、m≧37 、(m-1)(m-2)≧1260 、

 よって、(n-1)(n-2)≧10 、n≧4 です。

 また、(m-1)(m-2)-(n-1)(n-2)=1250 より、m2-3m-n2+3n=1250 、

 (m+n)(m-n)-3(m-n)=1250 、(m+n-3)(m-n)=1250 、

 ここで、(m+n-3)-(m-n)=2n-3≧5 なので、

 (m+n-3,m-n)=(1250,1),(625,2),(250,5),(125,10),(50,25) 、

 このうち、m-n が最大であるのは、(m+n-3,m-n)=(50,25) 、(m,n)=(39,14) です。

 K(n)=K(14)=8・13・12=1248 ,K(m+2)=K(41)=8・40・39=12480 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

 移動方向を固定するとき,移動が可能なのは,それぞれ 黄色のマス目にナイトがあるときです.

 それぞれの方向へ移動できるマス目は,n×n のチェス盤では (n-2)(n-1)個,

 全部で 8(n-2)(n-1)個となります.

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます
のどかな風景ですね。😃⤴

ひとりしずか  
No title

サギですか?
こんなに群れているのは見たことないです~

たけちゃん  
No title

K(n)を求める部分について,[1242]と同様に考えました.
つまり,移動方向を例えば「前の斜め右前」に固定するとき,
その方向への移動は,前2行と右1列からはできません.
それ以外のマスからは可能なので,この方向へ移動できるマス目は,
n×nのチェス盤では(n-2)(n-1)個となります.
どの方向でも同様なので,K(n)=8(n-2)(n-1)ですね.

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
野鳥の写真は珍しいですね。
シラサギがこれだけ集まってるのは浅瀬で餌がとりやすいのでしょうか。 滅多にないチャンスでしたね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
立式したものの...途方にくれPCにお願いして探しましたぁ ^^;
解答のような式変形は思いつけましぇんばい...Orz...

それにしても...うまい数値になるものをいろんなジャンルで作られるものですね...至極敬服~m(_ _)m~☆

スモークマン  
No title


たけちゃんさんの数え方は面白いですねぇ♪
黄色以外の範囲では、その方向に動けるものはないからなのですね ^^
言われるまで、気づけない視点でしたわ ^^;...Orz...

POPS  
No title

こんばんは。
サギでしょうか?
沢山やってきているのですね。
これだけの数は見た事が無いです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
鴨川に白いサギが沢山いました。
少し近づくと、飛び立ちます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私もサギを見るときは1羽ずつが多く、初めてこんな姿を見ました。
写真にも少しカモも写っています。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
貴殿の考えも頭をよぎったのですが、まとめるのを失念していました。
遅ればせながら、追加させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
鴨川の水辺にサギが集まっていました。
紅葉を見に行っての、望外の収穫でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
いろいろなゲームやパズルは数学と繋がっています。
「角行」の動きの時も同じ考えをしましたね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
鴨川にサギが集まっていました。
小魚も泳いでいたので、食事だったのでしょう。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、鍵コメントをありがとうございます。
言葉足らずでしたので、仰るように直しました。