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[答1252] マスの塗りつぶし方

ヤドカリ

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[答1252] マスの塗りつぶし方


 図のように、24個のマスが並んでいて、連続する4マスを何ヶ所か(0ヶ所でもよい)塗ります。

 次の場合の塗り方は何通り?

 (1) 塗る連続4マスが2ヶ所以上続いて、8マス連続,12マス連続,…… になってもよい場合

 (2) 塗る連続4マスが2ヶ所以上続かない場合


[解答1]

 連続する4マスの一番左の数を 1 から 21 の中から選びます。

 (1) 塗る連続4マスが2ヶ所以上続いて、8マス連続,12マス連続,…… になってもよい場合

  小さい順に a,b,c,…… とすれば、隣り合う数の差が4以上なので、

  どのマスも塗らない場合,
  1個の数 a を 1 から 21 から選ぶ場合,
  2個の数 a,b-3 を 1 から 18 から選ぶ場合,
  3個の数 a,b-3,c-6 を 1 から 15 から選ぶ場合,
  4個の数 a,b-3,c-6,d-9 を 1 から 12 から選ぶ場合,
  5個の数 a,b-3,c-6,d-9,e-12 を 1 から 9 から選ぶ場合,
  6個の数 a,b-3,c-6,d-9,e-12,f-15 を 1 から 6 から選ぶ場合

  があり、その総数は、

  1+2111821531249566=1+21+153+455+495+126+1=1252 通りです。

 (2) 塗る連続4マスが2ヶ所以上続かない場合

  小さい順に a,b,c,…… とすれば、隣り合う数の差が5以上なので、

  どのマスも塗らない場合,
  1個の数 a を 1 から 21 から選ぶ場合,
  2個の数 a,b-4 を 1 から 17 から選ぶ場合,
  3個の数 a,b-4,c-8 を 1 から 13 から選ぶ場合,
  4個の数 a,b-4,c-8,d-12 を 1 から 9 から選ぶ場合,
  5個の数 a,b-4,c-8,d-12,e-16 を 1 から 5 から選ぶ場合

  があり、その総数は、

  1+2111721339455=1+21+136+286+126+1=571 通りです。


[解答2]

 塗らないマスの間または両端 のどこに塗る4マスが入るかを考えます。

 (1) 連続4マスが2ヶ所以上続いて、8マス連続,12マス連続,…… になってもよい場合

  塗る所が0ヶ所の場合,塗る所が1ヶ所の場合 塗らないマスは20個,
  塗る所が2ヶ所の場合 塗らないマスは16個,塗る所が3ヶ所の場合 塗らないマスは12個,
  塗る所が4ヶ所の場合 塗らないマスは8個,塗る所が5ヶ所の場合 塗らないマスは4個,
  塗る所が6ヶ所の場合 塗らないマスは0個

  の場合があり、その総数は、

  1+211172133945516=1+21+153+455+495+126+1=1252 通りです。

 (2) 連続4マスが2ヶ所以上続かない場合

  塗る所が0ヶ所の場合,塗る所が1ヶ所の場合 塗らないマスは20個,
  塗る所が2ヶ所の場合 塗らないマスは16個,塗る所が3ヶ所の場合 塗らないマスは12個,
  塗る所が4ヶ所の場合 塗らないマスは8個,塗る所が5ヶ所の場合 塗らないマスは4個

  の場合があり、その総数は、

  1+2111721339455=1+21+136+286+126+1=571 通りです。


[解答3]

 (1) 連続4マスが2ヶ所以上続いて、8マス連続,12マス連続,…… になってもよい場合

  マスをn個とし、塗り方を an 通りとします。

  中図のように、24番のマスを塗らない場合,塗る場合を考えれば、

  残り 23マス,残り 20マスの 塗り方を考えることになり、a24=a23+a20 で、

  一般に an=an-1+an-4 です。

  明らかに、a1=a2=a3=1 ,a4=2 ですので、

  a5=a4+a1=3 ,a6=a5+a2=4 ,a7=a6+a3=5 ,a8=a7+a4=7 ,a9=a8+a5=10 ,a10=a9+a6=14 ,
  a11=a10+a7=19 ,a12=a11+a8=26 ,a13=a12+a9=36 ,a14=a13+a10=50 ,a15=a14+a11=69 ,
  a16=a15+a12=95 ,a17=a16+a13=131 ,a18=a17+a14=181 ,a19=a18+a15=250 ,a20=a19+a16=345 ,
  a21=a20+a17=476 ,a22=a21+a18=657 ,a23=a22+a19=907 ,a24=a23+a20=1252 、

  a24=1252 が求める場合の数です。

 (2) 25個のマスが並んでいて、連続する5マスを何ヶ所か塗り、

  5マスの最後を塗りつぶさない状態に戻せばいい。

  マスをn個とし、塗り方を bn 通りとすれば、

  一般に bn=bn-1+bn-5 が成り立ち、

  明らかに、b1=b2=b3=b4=1 ,b5=2 ですので、

  b6=b5+b1=3 ,b7=b6+b2=4 ,b8=b7+b3=5 ,b9=b8+b4=6 ,b10=b9+b5=8 ,b11=b10+b6=11 ,
  b12=b11+b7=15 ,b13=b12+b8=20 ,b14=b13+b9=26 ,b15=b14+b10=34 ,b16=b15+b11=45 ,
  b17=b16+b12=60 ,b18=b17+b13=80 ,b19=b18+b14=106 ,b20=b19+b15=140 ,b21=b20+b16=185 ,
  b22=b21+b17=245 ,b23=b22+b18=325 ,b24=b23+b19=431 ,b25=b24+b20=571 、

  b25=571 が求める場合の数です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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メタセコイアかな……
この木に出会うとしばし見上げて~

ニリンソウ  
No title

メタセコイアかな、まっすぐ空に向かって
この樹形が好きです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
うまい方法[解答3]わからず...[解答2]のように考えたと思います ^^v
漸化式はどうもわたしには向いてないようですわ...^^;...Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
メタセコイアが立派で、青空に向かっている雰囲気が良く、アンダー気味だとシルエット調になぅていいですね。
ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はメタセコイアを見る機会が結構ありますが、
見上げてしまうことが多いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
かなり大きなものですが、この樹形は、小さくすると
葉脈のようにも見えてきます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題だけなら[解答1][解答2]で十分だと思います。
[解答3]はマスの数が何通りかあっても求めやすいですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
青空をバックにすると半分シルエットのようにも見えます。
まっすぐ空に向かう姿がいいですね。

アキチャン  
No title

メタセコイアは勢いがあっていいですね。私も好きです(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
メタセコイアはまっずぐに天に向かって伸びるのがいいですね。
気持ちのいい樹です。