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[答1253] 正四面体の体積

ヤドカリ

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[答1253] 正四面体の体積


 正四面体とその外接球,内接球があり、その半径の和が 10 のとき、正四面体の体積は?


[解答1]

 正四面体ABCDにおいて、ABの中点をM ,CDの中点をN ,△BCDの重心をG とすれば、

 正四面体の中心は AG上にある(AGを 3:1 に内分する点で、MNの中点)ので、

 外接球,内接球の半径の和が AG=10 になります。

 正四面体ABCDの1辺を 2a とすれば、AN=BN=a√3 、MN=√(AN2-AM2)=a√2 です。

 △ABN=AB・MN/2=BN・AG/2 、(2a)(a√2)/2=(a√3)・10/2 、a=(5√3)/√2 、a2=75/2 です。

 △BCD=CD・BN/2=(2a)(a√3)/2=a2√3=(75√3)/2 、

 正四面体の体積は △BCD・AG/3={(75√3)/2}・10/3=125√3 です。


[解答2]

 正四面体の体積を V ,表面積を S ,外接球の半径を R ,内接球の半径を r とします。

 図のように、1辺の長さが a の立方体から 側面が等辺の長さが a での直角二等辺三角形である

 正三角錐4個を除けば、その体積は立方体の 1-4・1/6=1/3 になるので、

 正四面体の1辺の長さを a√2 とすれば、体積は V=a3/3 です。

 この正四面体の表面積は S=4・(√3)(a√2)2/4=2a2√3 です。

 従って、内接円球の半径は r=3V/S=a3/(2a2√3)=a/(2√3) になります。

 また、外接球の直径は 立方体の対角線と等しく、2R=a√3=3a/√3 、R=3a/(2√3) です。

 R+r=3a/(2√3)+a/(2√3)=2a/√3=10 だから,、a=5√3 となり、V=(5√3)3/3=125√3 です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
No title

こんにちは~
今日も青い空に可愛い花が
桜と違ってると思うのです桃でもないし?

ナイス

ひとりしずか  
No title

今の時期、青空にピンクの花~まるで春のよう~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
写真の花はヒマラヤザクラです。
ヒマラヤザクラは12月ごろみ綺麗です。
次は河津桜ですが、まだまだ長いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒマラヤザクラが綺麗に咲いていました。
この時期に咲く桜ですが、春らしい雰囲気です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
春を思わせて、うれしくなります(*´∀`*)
きれいですね

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答1]の方でした ^^
[解答2]もスマートでいいですわねぇ☆
これ以上複雑だったら手が出ないかもです...^^; Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
これは桜の仲間でしょうか?
シベが赤くて、間もなく咲き終わる様な雰囲気にも見えます。
春が待ち遠しくなりますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒマラヤザクラの花です。
こんな時期に咲いていても、桜は春を思わせますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]で十分だと思います。
正四面体の体積と言えば立方体を考えるのも習いある手筋ですので、
[解答2]も示しました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒマラヤザクラの花です。12月ごろに咲きます。
次に桜を見る頃は、暖かい季節を迎えていることでしょう。