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[答120] 常にmの倍数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答120] 常にmの倍数


 f(n)=n5+15n3+kn と定義します。

 命題 「すべての自然数nについて、f(n) はmの倍数である」 が、真となるような、

 自然数の組(m,k)のうち、mが最大となる mとkの値は?

 ただし、k<m とします。


[解答]

 答 m=120, k=104 です。

 n=1,2 の場合、f(1)=16+k と f(2)=152+2k の最大公約数は、

 gcd(f(1), f(2))=gcd(16+k, 152+2k)=gcd(16+k, 120) だから、mは120の約数です。

 従って、m=120, k=104 で成り立てば、これが答になります。

 f(n)=n5+15n3+104n が任意の自然数nについて120の倍数であることの証明は以下に記します。


[証明1] 愚直で確実な方法

 f(n)=n5+15n3+104n、

 Δf(n)=f(n+1)-f(n) とおくと、

 Δf(n)=5n4+10n3+55n2+50n+120

 ΔΔf(n)=20n3+60n2+160n+120

 ΔΔΔf(n)=60n2+180n+240

 ΔΔΔΔf(n)=120n+240 で、任意の自然数nについて120の倍数になります。

 また、ΔΔΔf(1)=480 が 120の倍数ですので、任意の自然数nについてΔΔΔf(n)は 120の倍数になります。

 次に、ΔΔf(1)=360 が 120の倍数ですので、任意の自然数nについてΔΔf(n)は 120の倍数になります。

 更に、Δf(1)=240 が 120の倍数ですので、任意の自然数nについてΔf(n)は 120の倍数になります。

 そして、f(1)=120 が 120の倍数ですので、任意の自然数nについてf(n)は 120の倍数になります。


[証明2] uch*n*anさんの解答より

 f(n)=n3(n2-1)+8・2n3+8・13n は任意の自然数nに対して8の倍数,

 f(n)=n(n4-1)+3・5・n3+3・5・7n は任意の自然数nに対して3の倍数及び5の倍数,

 よって、f(n) は任意の自然数nに対して 8・3・5=120 の倍数がいえます。

☆ nが偶数であれば n3 は8の倍数、nが奇数であればn2-1 が8の倍数

☆ n(n4-1)=(n-1)n(n+1)(n2+1) で,
   n-1,n,n+1 のいずれかが3の倍数,
   n-1,n,n+1,n2+1=(n-2)(n+2)+5 のいずれかが5の倍数

☆ n(n4-1) が任意の自然数nに対して3の倍数及び5の倍数であることは、
   フェルマの小定理からも示せます。
   n5≡n (mod 5),n3≡n (mod 3) が成り立つからです。


[証明3] 連続する5つの整数の積

 f(n)=n5+15n3+104n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+20(n-1)n(n+1)+120n

 連続する5つの整数の積は 5!=120 の倍数,連続する3つの整数の積は 3!=6 の倍数ですので、

 確かに 「すべての自然数nについて、f(n) は 120 の倍数である」 が成り立ちます。

 また、

 f(n)=(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+120n

 の式変形もできます。

☆ 連続するr個の整数の積が r! の倍数である理由:

 連続するr個の整数に 0 が含まれる場合は明らかで、それ以外は、全て正の数 または 全て負の数です。

 全て正の数の場合は、最大数をnとすれば、nr×r!

 全て負の数の場合は、最小数を -n とすれば、(-1)r×nr×r!

 いずれも、r! の倍数になります。

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Comments 6

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ヤドカリ  
No title

120には多くの性質があり、問題作りで迷いました。
5!,6P3=6・5・4,10C3,16C2,
1+2+…+15,1+3+6+10+15+21+28+36,3^1+3^2+3^3+3^4,
約数の和が360(もとの3倍),16個の約数をもつ最小数,
正6角形の内角,辺が3:5:7や7:8:13の三角形の最大内角
などです。
また、約数を沢山もつので、3辺が自然数の直角三角形の辺の長さにも現れます。
思いつくだけでも、(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(12,35,37),(9,40,41),(11,60,61),(119,120,169)
など、何倍かすると、辺の長さが120になります。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
解法1が文字化けしています...^^;
直していただけますでしょうか...m(_ _)m...v

アキチャン  
No title

こんばんわ。
チューリップ・・・きれい!! (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、これでよろしいですか?
多分「Δ」と思って直しました。
私のPCではきちんと出ていたので安心していました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
チューリップは緑化センター近くのものです。
解答の式はそんなに「美しい」ものでもないですが。。。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
今度はばっちり見えます Orz~v
Δだったんですね...貴殿の推理通り♪
けっきょく...解法1は...最大公約数を求めてるわけですよね?