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[答1255] 平方根を四捨五入

ヤドカリ

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[答1255] 平方根を四捨五入


 正の数xに対して、√x の小数点以下を四捨五入して得られる整数を r(x) とします。

 例えば r(6)=2,r(7)=3 で、6-r(6)=7-r(7) です。

 n=6,7 のように、自然数nのうち、n-r(n)=k-r(k) を満たすn以外の自然数kが存在するものを

 小さい順に並べるとき、2240番目の自然数は?


[解答]

 r(1)=1,r(2)=1,r(3)=2,r(4)=2,r(5)=2,r(6)=2,r(7)=3,r(8)=3,……

 であり、数列{r(n)}は広義単調増加で、r(n+1)-r(n)=0 であることが多く、

 r(n+1)-r(n)=1 となるのは、ある自然数kに対して、n<(k+1/2)2<n+1 のときです。

 s(x)=x-r(x) とおけば、

 s(1)=0,s(2)=1,s(3)=1,s(4)=2,s(5)=3,s(6)=4,s(7)=4,s(8)=5,……

 であり、数列{s(n)}も広義単調増加で、s(n+1)=s(n) は r(n+1)-r(n)=1 のときです。

 このとき、n<(k+1/2)2<n+1 、n<k2+k+1/4<n+1 、n=k2+k ですので、

 題意に適する自然数を小さい順に並べると、 (2k-1)番目が k2+k ,(2k)番目が k2+k+1 です。

 従って、2240番目の自然数は 11202+1120+1=1255521 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ゲンペイカズラ?
白い萼に赤い花を咲かせ、少し変わった形をした花ですネ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ちょいアバウトでしたが...
n^2<m<n^2+2n+1の2n個のうちにペアの1組が存在...
それはn^2+nとn^2+n+1...
r(√((n+1/2)^2-1/4))=n
r(√(n+1/2)^2+3/4)=n+1
で、題意をみたすので...
2240番目は、
n=2240/2=1120
so...
1120^2+1120+1=1255521
みたいに考えました ^^

ニリンソウ  
No title

こんばんは~
これ見たことあるんですが名前がね?

紅白で面白花ですねしべが長いでしょう。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
紅白で可愛いですね~♪(*´∀`*)

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
紅白の花ビラが綺麗で、クリスマスムードを感じさせてくれますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、源平カズラです。
緑の葉と白い萼と赤い花のコントラストが綺麗です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
だいたいはそんなところですが、厳密に解答にするには面倒です。
うまく回文数になりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさんコメントをありがとうございます。
花の名前は源平カズラです。
緑の葉と白い萼と赤い花、目立つ色合いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も花の名前が出てこないことがよくあります。
色だけでなく、蕊の長さも特徴的です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花は、源平カズラです。
赤いのは花ですが、白いのは萼です。