FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1256] 回転体の体積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1256] 回転体の体積


 曲線 x=(3+cosθ)cosθ ,y=(3+cosθ)sinθ (0≦θ≦π) を x軸の周りに回転してできる

 閉曲面で囲まれる部分の体積を V とするとき、V=?


[解答1]

 V=π-24 y2 dx です。

 dx/dθ=-sinθcosθ+(3+cosθ)(-sinθ)=(3+2cosθ)(-sinθ) だから、

 V=ππ0 (3+cosθ)2sin2θ(3+2cosθ)(-sinθ)dθ 、

 cosθ=t とおけば、(-sinθ)dθ=dt ,θ=π のとき t=-1 ,θ=0 のとき t=1 になり、

 V=π-11 (3+t)2(1-t2)(3+2t) dt =π-11 (-2t5-15t4-34t3-12t2+36t+27) dt

  =2π01 (-15t4-12t2+27) dt =2π[-3t5-4t3+27t]01=2π・20=40π=125.6637…… です。


[解答2]

 極座標で表せば、r=3+cosθ (0≦θ≦π) であり、始線の周りに回転してできる回転体の体積 V は、

 V=(2π/3)0π r3sinθ dθ であり、

 dr=-sinθdθ ,θ=0 のとき r=4 ,θ=π のとき r=2 になり、

 V=(2π/3)42 r3(-1) dr =-(2π/3)(1/4)[r4]42

  =-(π/6)(24-44)=-(π/6)(-240)=40π=125.6637…… です。

.

スポンサーサイト



Comments 8

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

素敵なリース!

ニリンソウ  
No title

クリスマスイブですね
リース作りましたか・・・奥さまですね。
楽しい夜をお過ごし下さい。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
よくわからなかったのでいろいろ調べて極座標の方法を見つけましたが Orz
[解答1]の方法でもできるのですねぇ☆
勉強になりました ^^♪🎄

樹☆  
No title

これはやどかりさんちの
リースですか?

わたしも作ったんですよ♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園に飾られていました。
仰る通り、素敵なリースです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
残念ながら、花の文化園で見たものです。
次の記事の最後の写真に写っているものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]の方法が普通だと思います。
[解答2]で解いている方が多かったのですが、こんな公式を皆さんご存知なのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
残念ながら、次の記事の最後の写真に写っているものです。
樹ちゃんの作られたリースもアップしてほしいです。