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[答1258] 4元連立方程式と式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1258] 4元連立方程式と式の値


 p+q=43 ,p/x+q/y=160 ,p/x2+q/y2=597 ,p/x3+q/y3=2228 のとき、

 px+qy=? px2+qy2=? px3+qy3=?


[解答1]

 (p+q)(p/x2+q/y2)-(p/x+q/y)2=43・597-1602 、pq(1/x-1/y)2=71 になり、

 (p/x+q/y)(p/x3+q/y3)-(p/x2+q/y2)2=160・2228-5932 、pq(1/x-1/y)2/(xy)=71 になり、

 (p+q)(p/x3+q/y3)-(p/x+q/y)(p/x2+q/y2)=43・2228-160・597 、pq(1/x-1/y)2(x+y)/(xy)=284 、

 よって、x+y=4 ,xy=1 で、x2+y2=(x+y)2-2xy=14 ,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=52 です。

 また、xy=1 より、p/x+q/y=160 ,p/x2+q/y2=597 ,p/x3+q/y3=2228 は

 分母を払うと、py+qx=160 ,py2+qx2=597 ,py3+qx3=2228 になります。

 px+qy=(p+q)(x+y)-(py+qx)=43・4-160=12 、

 px2+qy2=(p+q)(x2+y2)-(py2+qx2)=43・14-597=5 、

 px3+qy3=(p+q)(x3+y3)-(py3+qx3)=43・52-2228=8 です。


[解答2]

 f(n)=pxn+qyn とおけば、

 f(0)=43 ,f(-1)=160 ,f(-2)=597 ,f(-3)=2228 で、f(1),f(2),f(3) を求めることになります。

 f(n+2)-(x+y)・f(n+1)=pxn+2+qyn+2-(x+y)(pxn+1+qyn+1=-pxn+1y-qxyn+1)=-xy・f(n) 、

 f(n+2)=(x+y)・f(n+1)-xy・f(n) になります。

 n=-3,-2 を代入して、f(-1)=(x+y)・f(-2)-xy・f(-3) ,f(0)=(x+y)・f(-1)-xy・f(-2) 、

 160=597(x+y)-2228xy ,43=160(x+y)-597xy 、これを解くと、x+y=4 ,xy=1 ですので、

 f(n+2)=4・f(n+1)-f(n) になります。

 n=-1 を代入して、f(1)=4・f(0)-f(-1)=4・43-160=12 、

 n=0 を代入して、f(2)=4・f(1)-f(0)=4・12-43=5 、

 n=1 を代入して、f(3)=4・f(2)-f(1)=4・5-12=8 になります。

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Comments 11

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ヤドカリ  
No title


写真の花はシルホサと呼ばれる、
冬咲きのクレマチスです。

ひとりしずか  
No title

冬咲きのクレマチス、知るのも見るのもはじめて!

今朝6時の気温 -7.5、一気に冷え込みました

アキチャン  
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おはようございます。
少し寒そうに見えてましたが、遅咲きなのですね。
寒い中でも咲いてくれるお花は、とてもありがたいです(*´∀`*)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いやぁ...全然気づけませんでしたわ ^^;
[解答2]は数学的な発想ですね☆
勉強になります♪

今年も大変お世話になりありがとうございました!!
🎍良いお年をお迎えくださいませ~m(_ _)m~🎍

POPS  
No title

こんにちは。
シルホサ初めて見ましたが、綺麗ですね~。
俯いて咲くのでクリスマスローズかと思いました。

今年もお世話になりました。
体調に気を付けて、新年を迎えて下さいね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
いつも真っ先にコメントを頂き、恐縮しています。
そちらは寒いようですが、健康に留意され、よいお年をお迎えください。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花が少ない季節に咲いてくれる花は有難いです。
来たる年が良い年でありますように。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
P+Q=2228,Px+Qy=597,Px²+Qy²=160,Px³+Qy³=43,…… と考えれば、
3項間の漸化式が浮かぶかも知れません。
来年もも宜しくお願い致します。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ブログでの交流は昨年からだったと記憶しています。
土曜日以外のほとんどの日に、記事を書かれた貴殿には頭が下がります。
来年も宜しくお願い致します。

ニリンソウ  
No title

冬咲きのクレマチスがあるとは聞いていましたが
白だったんですね。
素敵な花です、 新しい年になりました
今年もよろしくおねがいします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、本年最初のコメントをありがとうございます。
冬咲きのクレマチス、他にもあるかも知れませんが、私が見たのはこれだけです。
こちらこそ、本年もよろしくお願いします。