[答1258] ４元連立方程式と式の値

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[答1258] ４元連立方程式と式の値


　p＋q＝43 ，p/x＋q/y＝160 ，p/x²＋q/y²＝597 ，p/x³＋q/y³＝2228 のとき、

　px＋qy＝？　px²＋qy²＝？　px³＋qy³＝？


[解答1]

　(p＋q)(p/x²＋q/y²)－(p/x＋q/y)²＝43･597－160² 、pq(1/x－1/y)²＝71 になり、

　(p/x＋q/y)(p/x³＋q/y³)－(p/x²＋q/y²)²＝160･2228－593² 、pq(1/x－1/y)²/(xy)＝71 になり、

　(p＋q)(p/x³＋q/y³)－(p/x＋q/y)(p/x²＋q/y²)＝43･2228－160･597 、pq(1/x－1/y)²(x＋y)/(xy)＝284 、

　よって、x＋y＝4 ，xy＝1 で、x²＋y²＝(x＋y)²－2xy＝14 ，x³＋y³＝(x＋y)³－3xy(x＋y)＝52 です。

　また、xy＝1 より、p/x＋q/y＝160 ，p/x²＋q/y²＝597 ，p/x³＋q/y³＝2228 は

　分母を払うと、py＋qx＝160 ，py²＋qx²＝597 ，py³＋qx³＝2228 になります。

　px＋qy＝(p＋q)(x＋y)－(py＋qx)＝43･4－160＝12 、

　px²＋qy²＝(p＋q)(x²＋y²)－(py²＋qx²)＝43･14－597＝5 、

　px³＋qy³＝(p＋q)(x³＋y³)－(py³＋qx³)＝43･52－2228＝8 です。


[解答2]

　f(n)＝pxⁿ＋qyⁿ とおけば、

　f(0)＝43 ，f(－1)＝160 ，f(－2)＝597 ，f(－3)＝2228 で、f(1)，f(2)，f(3) を求めることになります。

　f(n＋2)－(x＋y)･f(n＋1)＝pxⁿ⁺²＋qyⁿ⁺²－(x＋y)(pxⁿ⁺¹＋qyⁿ⁺¹＝－pxⁿ⁺¹y－qxyⁿ⁺¹)＝－xy･f(n) 、

　f(n＋2)＝(x＋y)･f(n＋1)－xy･f(n) になります。

　n＝－3，－2 を代入して、f(－1)＝(x＋y)･f(－2)－xy･f(－3) ，f(0)＝(x＋y)･f(－1)－xy･f(－2) 、

　160＝597(x＋y)－2228xy ，43＝160(x＋y)－597xy 、これを解くと、x＋y＝4 ，xy＝1 ですので、

　f(n＋2)＝4･f(n＋1)－f(n) になります。

　n＝－1 を代入して、f(1)＝4･f(0)－f(－1)＝4･43－160＝12 、

　n＝0 を代入して、f(2)＝4･f(1)－f(0)＝4･12－43＝5 、

　n＝1 を代入して、f(3)＝4･f(2)－f(1)＝4･5－12＝8 になります。

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