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[答1259] 斜辺の長さ

ヤドカリ

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[答1259] 斜辺の長さ


 ∠A=90゚ ,AB=1 である直角三角形ABCの 辺BCの延長上に CD=1 となるように 点Dをとれば

 ∠CAD=30゚ になるとき、BC=?


[解答1] 三角比を使って

 BC:CD=△ABC:△ACD=(1/2)AB・AC:(1/2)AC・ADsin30゚=2AB:AD 、

 BC=x とおけば、x:1=2:AD だから、AD=2/x です。

 △ABDで余弦定理より、BD2=AB2+AD2-2AB・ADcos120゚ 、

 (x+1)2=1+4/x2+2/x 、x2+2x=4/x2+2/x 、x(x+2)=2(x+2)/x2 、x=2/x2 、x3=2 、

 x=3√2=1.2599…… です。


[解答2] 座標を使って

 正の数c,dを用いて、xy平面上で、A(0,0),B(1,0),C(0,c),D(-d,d√3) とします。

 CB,DBの傾きは等しいので、-c=-(d√3)/(1+d) 、c+cd=d√3 になり、

 d√3-c=cd であり d(√3-c)=c です。

 次に、CD2=1 だから d2+(d√3-c)2=1 、d2+(cd)2=1 、(c2+1)d2=1 、

 (c2+1)d2(√3-c)2=(√3-c)2 、(c2+1)c2=(√3-c)2 、c4+(2√3)c-3=0 、

 (c+√3)(c3-c2√3+3c-√3)=0 、c3-c2√3+3c-√3=0 、c(c2+3)=(c2+1)√3 、

 ここで、BC2=c2+1 だから、c(BC2+2)=BC2√3 、

 2乗して、(BC2-1)(BC4+4BC2+4)=3BC4 、BC6=4 、BC=3√2=1.2599…… です。


[解答3]

 辺BAの延長上に CA//DE となるように 点Eをとり、BC=x ,AE=y とすれば DE=y√3 です。

 BA:AE=BC:CD より、1:y=x:1 、xy=1 になります。

 直角三角形EBDにおいて 三平方の定理より、BD2=BE2+ED2 、(x+1)2=(y+1)2+(y√3)2

 x2+2x+1=y2+2y+1+3y2 、x2+2x=4y2+2y 、x(x+2)=2y(2y+1) 、x3(x+2)=2xy(2xy+x) 、

 x3(x+2)=2(2+x) 、x3=2 、x=3√2=1.2599…… です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ナンテンの実、豊作ですか?

アキチャン  
No title

おはようございます。
南天でしょうか…家でも玄関先に赤々と赤い実が垂れています(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

おはようございます。

南天の実まだありますね。
難を転ずる=ナンテン・・・赤い実には咳止め効果もあるらしい。
のど飴冬は常備しています。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1],[解答3]とも気づけず...^^;
やたら複雑な式をPCにお願いしちゃいましたが...^^;;
うまく解けるものですのねぇ☆...Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
豊作かどうかよく分かりませんが、例年通りに実を付けました。
低い柔らかい樹ですので、台風の影響はなかったようです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
赤い実がよく目立ちますね。
我が家でも赤い南天が実っており、仏花にも添えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
南天の実はまだまだ目立っています。難を転ずる縁起物ですね。
白南天も撮りましたが、白は変色した部分が目立ちます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
計算しやすいような式を導くのも解く一部だと思います。
ご存じと思いますが、手計算か電卓で解けるよう作問しています。

POPS  
No title

こんばんは。
南天の実、新春を感じられていいですね~。
来週からは正月ムードもお終いでしょうかね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
南天の実は年末から目立つようになります。
難を転じられる年であればいいですね。