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[答1260] 3個の円と三角形の面積

ヤドカリ

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[答1260] 3個の円と三角形の面積


 図のように、3個の円が2個ずつ外接しており、共通外接線で三角形を作ります。

 3個の円の半径が 32/3 ,75/8 ,6 のとき、この三角形の面積は?


[解答1]

 a,b,c,d を正の数として、円P,円Q,円R の半径をそれぞれ a2,b2,c2 、a2+b2+c2=d2

 △ABCの 辺ABに 円P,円Q が接し、辺BCに 円Q,円R が接し、辺CAに 円R,円P が接し、

 辺CAと円P,辺ABと円P,辺ABと円Q の接点をそれぞれ L,M,N とし、

 ∠APM=θ ,∠RPQ=2α ,∠QPM=2β ,∠RPL=2γ とします。

 △PQRにおいて余弦定理より、

 cos2α={(a2+b2)2+(a2+c2)2-(b2+c2)2}/{2(a2+b2)(a2+c2)}

  =(a4+a2b2+a2c2-b2c2)/(a4+a2b2+a2c2+b2c2)=(a2d2-b2c2)/(a2d2+b2c2)

 tan2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)=b2c2/(a2d2) 、tanα=bc/(ad) で、

 cos2β=(a2-b2)/(a2+b2) より tan2β=(1-cos2β)/(1+cos2β)=b2/a2

 tanβ=b/a になり、同様に、tanγ=c/a ですので、

 tan(β+γ)=(tanβ+tanγ)/(1-tanβtanγ)=(b/a+c/a)/(1-bc/a2)=a(b+c)/(a2-bc) 、

 tanθ=-tan(α+β+γ)={tanα+tan(β+γ)}/{tanαtan(β+γ)-1}

  ={bc/(ad)+a(b+c)/(a2-bc)}/〔abc(b+c)/{ad(a2-bc)}-1〕

  ={bc(a2-bc)+a2d(b+c)}/{abc(b+c)-ad(a2-bc)} になり、

 bc(a2-bc)+a2d(b+c)=a2(bc+bd+cd+d2)-a2d2-b2c2

  =a2(d+b)(d+c)-(d2-b2-c2)d2-b2c2=a2(d+b)(d+c)-(d2-b2)(d2-c2)

  =(d+b)(d+c){a2-(d-b)(d-c)}=(d+b)(d+c)(d2-b2-c2-d2+bd+cd-bc)

  =(d+b)(d+c){d(b+c)-(b+c)2+bc}=(d+b)(d+c){bc-(b+c)(b+c-d)} で、

 {abc(b+c)-ad(a2-bc)}=a{bc(b+c)-d(d2-b2-c2-bc)}

  =a{c2(d+b)+bc(d+b)-d(d+b)(d-b)}=a(d+b){c2+bc-d(d-b)}

  =a(d+b){b(d+c)-(d+c)(d-c)}=a(d+b)(d+c)(b+c-d) ですので、

 tanθ={bc-(b+c)(b+c-d)}/{a(b+c-d)}=bc/{a(b+c-d)}-(c+b)/a 、

 AM=a2・tanθ=abc/{a(b+c-d)}-(c+b)a=abc{1/(b+c-d)-1/b-1/c} であり、

 同様に、NB=abc{1/(c+a-d)-1/c-1/a} です。

 また、三平方の定理より、MN2=(a2+b2)2-(a2-b2)2=4a2b2 、MN=2ab=abc(2/c) 、

 AB=AM+MN+NB=abc{1/(b+c-d)-1/b-1/c}+abc(2/c)+abc{1/(c+a-d)-1/c-1/a}

  =abc{1/(b+c-d)+1/(c+a-d)-1/a-1/b} です。

 ここで、b+c-d=p ,c+a-d=q ,a+b-d=r とおけば、AB=abc(1/p+1/q-1/a-1/b) になり、

 同様に、BC=abc(1/q+1/r-1/b-1/c) ,CA=abc(1/r+1/p-1/c-1/a) ですので、

 (AB+BC+CA)/2=abc(1/p+1/q+1/r-1/a-1/b-1/c) になり、ヘロンの公式により、

 △ABC=a2b2c2√{(1/p+1/q+1/r-1/a-1/b-1/c)(1/p-1/a)(1/q-1/b)(1/r-1/c)} です。

 本問では、a2=32/3 ,b2=75/8 ,c2=6 ,d2=32/3+75/8+6=625/24 として、

 k=2√6 として、a=16/k,b=15/k,c=12/k,d=25/k,p=2/k,q=3/k,r=6/k になり、

 △ABC=(32/3)(75/8)6√{(k/2+k/3+k/6-k/16-k/15-k/12)(k/2-k/16)(k/3-k/15)(k/6-k/12)}

  =600√{(63k/80)(7k/16)(4k/15)(k/12)}=600・7k2/80=600・7・24/80=1260 です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

 3円から選んだ2円の共通内接線(32=3(通り))は1点P(根心)で交わる.

 3円の中心を3頂点とする三角形Tを考えると,Pから3辺に下した垂線が共通接線であり,

 方べきの定理よりその長さは等しいから,Pは三角形Tの内心.

 Tの3辺の長さは 6+32/3,32/3+75/8,75/8+6 であり,その面積は,ヘロンの公式より 125 となって,

 Pと,2円の接点までの距離は,三角形Tの内接円の半径であり,24/5.

 一般に,半径が a,b の2円が互いに外接するとき,

 接点をQとし,共通内接線と共通外接線の一方の交点をRとすると,

 (2QR)2=(a+b)2-(a-b)2=4ab となって,QR=√(ab) である.

 よって,半径aの円の中心をAとするとき,tan∠ARQ=a/√(ab)=√(a/b).

 3本の共通内接線の一部として,Pを端点とし,接点を含む3本の半直線を考え,

 それにより,題意の三角形を3つに分割する.

 各部分は内接円をもつ四角形である.その半径を r とし,他の2つの半径を a,b とすると,

 4内角のうちの3つについて,その(1/2)倍の tan は,r/(24/5),√(r/a),√(r/b).

 四角形の周長は,4つの 2r/tan(内角/2) の和,面積はその r/2 倍であること,

 一般に,tanの値が α,β,γ である3角をπから引いた角は,

 その tan が (α+β+γ-αβγ)/(αβ+βγ+γα-1) となることにも注意する.

 半径 6 の円に外接する四角形について,

  4つの tan(内角/2) は,5/4,3/4,4/5,4/3 で,面積は,62(4/5+4/3+5/4+3/4)=744/5.

 半径 32/3 の円に外接する四角形について,

  4つの tan(内角/2) は,20/9,4/3,16/15,16/63 で,面積は,(32/3)2(9/20+3/4+15/16+63/16)=3456/5.

 半径 75/8 の円に外接する四角形について,

  4つの tan(内角/2) は,125/64,5/4,15/16,5/12 で,面積は,(75/8)2(64/125+4/5+16/15+12/5)=420.

 以上より,求める面積は,744/5+3456/5+420=1260.

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Comments 11

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ひとりしずか  
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七草の鉢植えですか?
ここから収穫して七草がゆに?

ニリンソウ  
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こんにちは~なるほど今日は七草粥ですからね。
春の七草は食べられる。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
恐ろしく複雑な思考が要求される問題でしたのね ^^;
わたしゃ...立式をPCにお願いしましたから...
これを手計算したら...ややこしいことになったのかもしれませんばい ^^;...Orz...

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
長居植物園に飾られていたものですが、終わればどうするのだろう。
収穫して七草がゆにできればいいですね。

ヤドカリ  
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2019/1/7(月) 午前 8:07の鍵コメ様、早速のコメントをありがとうございます。
何とか分かり易く書けないかといろいろ書き換えてうまくいかず、
複雑な部分なので、元に戻そうとして失敗しました。
今朝のコメントを参考に、「4つの 2r/tan(内角/2) の和」と書き換えました。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
春の七草はスーパーによく売っていますが、買っていません。
季節感を大切にと思って長居で撮ったものをアップしました。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題はかなりの計算力が必要だったと思います。
これだけ考えれば値打ちがあると思います。

POPS  
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こんばんは。
今日は七草粥を食べてとった日でしたね。
この様に説明書きしてあるのはありがたくていいですよね。
ナイス

ヤドカリ  
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POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今日の日に因んでこの写真をアップしました。
季節感は大切にしたいものです。

アキチャン  
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おはようございます。
珍しく、寄せ植えにしてあるのですね。綺麗ですね♪(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このような草は分かりにくいので、
寄せ植えで、名前のプレートがあるのが嬉しいです。