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[答1261] 勝つ確率の差

ヤドカリ

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[答1261] 勝つ確率の差


 白球が何個かと赤球3個が入った袋から、A,Bの2人が Aからはじめて交互に1球ずつ取り出し、

 2つ目の赤球を取り出した方を勝ちとします。

 ただし、取り出すときは無作為に取り出すものとし、取り出した球は袋に戻さないことにします。

(1) 白球が26個のとき、A,Bの勝つ確率の差は?

(2) 白球が27個のとき、A,Bの勝つ確率の差は?


[解答1]

(1) 取り出した球に、取り出した順に 1,2,3,……,29 と番号をつけます。

 赤球の番号は3個あり、293=29・28・27/3!=29・14・9 通りです。

 3個の数のうち2番目に小さい番号が奇数であればAの勝ちです。

 2番目に小さい番号が 3である場合は 2・26 通り,5である場合は 4・24 通り,…… で、

 k=1,2,……,13 として、2番目に小さい番号が (2k+1)である場合は 2k・(28-2k)=56k-4k2 通り、

 これを加えて、56・13・14/2-4・13・14・27/6=5096-3276=1820 、

 Aの勝つ確率は 1820/(29・14・9)=130/261 、Bの勝つ確率は 1-130/261=131/261 、

 その差は |130/261-131/261|=1/261 です。


(2) 取り出した球に、取り出した順に 1,2,3,……,30 と番号をつけます。

 赤球の番号は3個あり、3個の数のうち2番目に小さい番号が奇数であればAの勝ちです。

 どの取り出し方に対しても、順序が正反対の取り出し方を対応させれば、

 3個の数のうち2番目に小さい番号は 一方が奇数で他方が偶数ですので、

 2番目に小さい番号が奇数である場合と偶数である場合は同数です。

 従って、A,Bの勝つ確率はいずれも 1/2 であり、その差は 0 です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

 赤白すべての球を一列に並べるとき,赤球のうちで左から2個目に並ぶものが,

 全体の中で左から偶数番目であるか奇数番目であるかを考えればよい.

 (奇数番目ならAの勝ち,偶数番目ならBの勝ち.)

 白球がn個の場合に,Aが勝つ確率を an とする.

 nが奇数の場合,

  「赤球のうちで左から2個目が並ぶもの」は「赤球のうちで右から2個目が並ぶもの」でもあり,

  これが全体の中で左から奇数番目である確率は,

  「右から奇数番目」の確率,すなわち「左から偶数番目」の確率と等しい.

  よって,an=1/2 より,求める確率差は 0.

 nが偶数の場合,

  ・1個目に取り出される球が白であれば (確率 n/(n+3)),

  2個目の赤球が,残りの全体のうちで奇数番目に並ぶ確率は an-1=1/2.

  ・1個目に取り出される球が赤であれば (確率 3/(n+3)),

  残りを(2番目,3番目),(4番目,5番目),……,(n+2番目,n+3番目)と2個ずつの組にしたとき,

  (赤,赤)の組があればBの勝ち,

  (赤,赤)の組がなければ,先に(赤,白)があればBの勝ち,先に(白,赤)があればAの勝ちで,

  どちらであるかは等確率.

  よって,確率差は 1個目に取り出される球が赤で残りに(赤,赤)の組がある確率.

  残り 2番目 ~ n+3番目のうち1つ目の赤の番号は何でもよく,2つ目の赤の番号は1つ目のペア

  であればよいので,{3/(n+3)}{1/(n+1)}=3/{(n+1)(n+3)}.

 (1) n=26 のとき,3/(27・29)=1/261. (2) n=27 のとき,0.

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Comments 16

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ひとりしずか  
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ヒイラギナンテンかな?
原産地は中国(台湾)で、日本に渡来したのは1681~1687年(天和・貞享年間)と古いんですね~

ニリンソウ  
No title

ヒイラギナンテンかな・・・・今植物園前を通ったら見えました。
林のように背が高いのでちょっと南国ムードでしたよ。

冷たい雨の朝です。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

遅くなりましたが
明けましておめでとうございます。

黄色のお花、道東では見られないお花です。
いま咲いているのですか?
冬にお花が咲いてくれるっていいですね。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
滑り込みセーフでできましたが...^^;
全部で奇数個の場合は前からも後ろからも奇数番目...A,Bの勝つ確率は非対称
全部で偶数この場合は、前から奇数番目、後ろからは偶数番目でA,Bが入れ替わるだけなので対称で同確率
から、何かスマートな方法がないものか考えてましたが...^^;; Orz~

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ヒイラギナンテンです。
日本に渡来したのが江戸時代初期だったのですか。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ヒイラギナンテンです。
写真の樹は低いものですが、高いと南国の雰囲気もあるかも知れません。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
年始のご挨拶も戴き、恐れ入ります。
当方では、少ないですが、冬も何種類かの花が咲いています。
これもそのうちの1つです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
非対称な場合は、結局、計算をするしかないですね。
最初から、場合の数の差を考えても同じ答が出ます。

POPS  
No title

こんばんは。
この黄色い花は何でしたっけ?
外の花が少ないこの時期にビタミンカラーの花が綺麗ですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はヒイラギナンテンの花です。
冬に黄色の花を咲かせるので、暖かく感じます。

たけちゃん  
No title

非対称の場合,初めにAが取り出す球が白なら,以下は対称な場合になるので,
確率の差を考えるには,初めの球が赤の場合だけを調べればよいですね.
初めの球が赤だと,残った球は偶数個で,そのうち赤は2つであり,
[答1013]の[参考]の考え方が有効に機能すると思います.
つまり,残り球偶数個を,順に2個(順にBが取る球,Aが取る球)ずつの
組にすれば,
・同じ組に赤が2つ揃う場合はBの勝ち,
・それ以外は,先に出る赤を含む組が「赤白」か「白赤」かで
どちらの勝ちかが決まり,それらは等確率
であることから,(2)の確率の差は,初めが赤の確率に,
28個(赤2個を含む)を2個ずつの組にして,2個含まれる赤が同じ組になる確率
を掛けたものとなり,
(3/29)*((14C1)/(28C2))と計算されますね.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
出題した日に貴殿の解答見て、
貴殿の考え方を、他の解答に合わせて番号をつける説明をするか、
そのまま、写すかを迷いながら時間が経ってしまいました。
そして、結局、上記のように写して解答説明に加えさせて頂きました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、ご指摘をありがとうございます。
完全に私のミスでした。早速訂正しました。
ところで、(2番目,3番目),(4番目,5番目),……,(28番目,29番目)
に(赤,赤)の組がある確率を (14C1)/(28C2) と書かれていますが、
私は、1つ目の赤の番号は何でもよく、
2つ目の赤の番号は残り27個のうち1つ目の隣の番号だから
そのまま 1/27 とすればよいと思うのですが、如何でしょうか。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、鍵コメントをありがとうございます。
私は、(14C1)/(28C2) を、
(2番目,3番目),(4番目,5番目),……,(28番目,29番目)
のうちの2個の数を選ぶ 28C2 通りのうちの 14 通りと解釈しましたが、
わざわざ 14C1 と書く必要がないと思っていました。
なお、最終的に、記事を少し書き換えました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
今、解答が追加されてることに気づきましたぁ ^^
たけちゃん様の発想はまいぅ~ですね☆
閃かなかったのは仕方ないなぁ...^^;
勉強になりました Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
うまい発想でも、人に示すのはそれなりに大変です。
解くことと同様、解答を表現することも難しいものです。