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[答1262] 長方形内の二等辺三角形

ヤドカリ

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[答1262] 長方形内の二等辺三角形


 長方形ABCDの 辺AB上に点Mを 辺BC上に点Nを BM=3√2 ,BN=4 となるようにとると、

 △DMNは DM=DN , ∠MDN=45゚ の二等辺三角形になりました。

 このとき、△ADM と △CDN の面積の和は?


[解答1]

 AM=a ,CN=c とすれば、AD=c+4 ,CD=a+3√2 です。

 複素平面上で、D(0),A(c+4),M(c+4+ai),N(c+(a+3√2)i),C((a+3√2)i) とおけて、

 c+(a+3√2)i=(c+4+ai)(cos45゚+i・sin45゚) 、{c+(a+3√2)i}√2=(c+4+ai)(1+i) 、

 (c+ai)√2+6i=(c+ai)(1+i)+4(1+i) 、(c+ai)(√2-1-i)=2(2-i) 、

 (c+ai)(√2-1-i)(√2+1+i)=2(2-i)(√2+1+i) 、2(c+ai)(1-i)=2(2-i)(√2+1+i) 、

 (c+ai)(1+i)(1-i)=(2-i)(1+i)(√2+1+i) 、2(c+ai)=(3+i)(√2+1+i) 、

 c+ai=(3+i)(√2+1+i)/2=(3√2+2+4i+i√2)/2=3/√2+1+2i+i/√2 、

 c=1+3/√2 ,a=2+1/√2 です。

 △ADM+△CDN=a(c+4)/2+c(a+3√2)/2=ac+2a+3c/√2=(a+3/√2)(c+2)-3√2

  =(2+1/√2+3/√2)(1+3/√2+2)-3√2=(2+2√2)(3+3/√2)-3√2

  =6+3√2+6√2+6-3√2=12+6√2 です。


[解答2]

 Aに関してMと対称な点をP ,Bに関してNと対称な点をQ とすれば、DP=DM=DN=DQ だから、

 P,M,N,Q は D を中心とする円周上にありますので、∠MPN=∠MQN=∠MDN/2=45゚/2 、

 45゚/2 の内角をもつ直角三角形の直角を挟む2辺の比は図のように、1:(1+√2) だから、

 PB=(1+√2)BN , QB=(1+√2)BM になり、PB・QB=(3+2√2)BM・BN 、

 PB・QB/2=(3+2√2)BM・BN/2 、△BPQ=(3+2√2)△BNM です。

 ∠PDQ=2∠ADC-∠MDN=2・90゚-45゚=135゚ なので、△DPQ=△DMN であり、

 △BPQ=四角形DPBQ-△DPQ=(2△ADM+2△CDN+△BNM+△DMN)-△DPQ

  =2△ADM+2△CDN+△BNM 、

 よって、2△ADM+2△CDN+△BNM=(3+2√2)△BNM 、

 △ADM+△CDN=(1+√2)△BNM=(1+√2)BM・BN/2=(1+√2)(3√2)・4/2=12+6√2 です。

.

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

パンジー畑ですか~
県立花きセンターでパンジーの花壇ありましたが
これほどではなかったです~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]は、ある意味万能ですね ^^
[解答2]は考えもしませんでしたがなるほどですねぇ♪
1:(1+√2) がわかれば...
(4(1+√2)-3√2))(3√2(1+√2)-4)/2+4)+(3√2(1+√2)-4))(4(1+√2)-3√2)/2+3√2)
=(4+√2)(10+3√2)/2+(2+3√2)(4+7√2)/2
=((40+6+8+42)+(22+26)√2)/2
=48+24√2・・・これの1/4なので...12+6√2
と計算できますが...貴殿の変形等式から求めるのが楽ですね☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花壇は、長居公園の売店前にあるものです。
沢山咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
[解答2]は1度こんな解き方をすれば、こんどは思い付くかも知れません。
その紹介の意味でこの問題を作りました。

POPS  
No title

こんばんは。
パンジーが満開で綺麗ですね~。
外の花が少ないこの時期葉牡丹とともに有難い存在ですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
冬に咲く花の1つのパンジーですが、
冬の間は、パンジーどうしの間が広くて撮りにくいです。

樹☆  
No title

わぁ~~青いパンジーでいっぱいですね。
目を奪われるほどです。

こんばんは
今日は全国的に晴れて気持ちのいい成人の日でしたね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
パンジーがたくさん、並んで咲いていたので目につきました。
花が少ない時期に貴重です。