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[答1263] 傍接円2つの半径の和

ヤドカリ

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[答1263] 傍接円2つの半径の和


 半径が 6 の円に内接する△ABCにおいて、

 ∠BAC=30゚ のとき 辺ABに接する傍接円の半径と辺ACに接する傍接円の半径の和は?

 ∠BAC=45゚ のとき 辺ABに接する傍接円の半径と辺ACに接する傍接円の半径の和は?


[解答]

 ∠BAC=θ とします。

 辺ABに接する傍接円の中心を P,半径を r とすれば、

 △ABC=△PBC+△PCA-△PAB より、

 2△ABC=2△PBC+2△PCA-2△PAB=BC・r+CA・r-AB・r=(BC+CA-AB)・r 、

 r=2△ABC/(BC+CA-AB)=(AB・AC・sinθ)/(BC+CA-AB) です。

 同様に、辺ACに接する傍接円の半径は (AB・AC・sinθ)/(BC+AB-CA) になり、

 2つの傍接円の半径の和は、

 (AB・AC・sinθ)/(BC+CA-AB)+(AB・AC・sinθ)/(BC+AB-CA)

  =(AB・AC・sinθ){1/(BC+CA-AB)+1/(BC+AB-CA)}

  =(AB・AC・sinθ){(BC+AB-CA)+(BC+CA-AB)}/{(BC+CA-AB)(BC+AB-CA)}

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/{(BC2-(CA-AB)2

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/(CA2+AB2-2・AB・AC・cosθ-CA2+2・CA・AB-AB2)

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/{2・AB・AC・(1-cosθ)}=(BC・sinθ)/(1-cosθ)

  ={BC・sinθ(1+cosθ)}/{(1-cosθ)(1+cosθ)}=BC(1+cosθ)/sinθ になり、

 BC/sinθ は外接円の直径なので、

 2つの傍接円の半径の和は、12(1+cosθ)=12+12cos∠BAC です。

 従って、∠BAC=30゚ のとき 12+6√3 ,∠BAC=45゚ のとき 12+6√2 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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春を思わせる花いろ

スモークマン  
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グーテンターク ^^
面白い面積の関係ですのねぇ♪
余弦と正弦定理以外は初等幾何の問題でしたか...^^;
思い至れず...特殊化で...^^;; Orz~

ニリンソウ  
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黄色い菜の花
みただけでも「春」が・・まだ遠いけど。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
冬の寒い時に黄色の花を見ると暖かさが感じられます。
本物の春が来てほしいです。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
特殊化しなくても普通に解けると思います。
3つの角度が分かれば、2つずつの和が分かり、それぞれ求められますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
寒咲き花菜ですが、春の菜の花と見た目は変わりません。
春のような光景に暖かさを感じました。

POPS  
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こんばんは。
菜の花が綺麗で、春を感じさせてくれますね~。
ウチの方ではまだ見ないのですがね💦
ナイス

ヤドカリ  
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POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
寒咲き花菜です。寒いときに咲くのですが、
春の菜の花と見た目は変わりませんので、暖かさを感じます。

アキチャン  
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おはようございます。
一足早く春を感じられました♪一面の黄色、きれいですね(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
春は黄色の花が目立ち、それが春らしい雰囲気を醸し出します。
その春色が、冬に見られるのは嬉しいことです。