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[答1264] クイーンの動き

ヤドカリ

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[答1264] クイーンの動き


 チェスのクイーンは縦横斜めにいくらでも動ける駒です。

 n×n のチェス盤の1ヶ所にクイーンを置くときの動ける場所の数は、

 クイーンを置く場所によって異なりますが、その総和を Q(n) とします。

 例えば、8×8 の盤では、図のように、動ける場所の数を書き込み、和を求めると、

 Q(8)=1456 であることが分かります。

 では、Q(n)-Q(n-1)>2000 を満たす最小の自然数nは? また、そのnについて Q(n)=?


[解答1]

 下左図は、n×n の盤のうち、(n-1)×(n-1) の盤からはみだした部分を水色で示しており、

 水色のマスは 2n-1 個です。

 この部分のどこにクイーンを置いても、動ける場所の数は 3(n-1) です。

 また、(n-1)×(n-1) の盤から このクイーンの所に動ける場所の数は、

 クイーンの所から (n-1)×(n-1) の部分に動ける場所の数に一致し、

 隅を除いて 3(n-1)-n=(2n-3)ヶ所で、隅だけは (n-1)ヶ所ですので、

 Q(n)-Q(n-1)=3(n-1)(2n-1)+(2n-3)(2n-2)+(n-1)

  =(n-1){3(2n-1)+2(2n-3)+1}=(n-1)(10n-8)=2(n-1)(5n-4) です。

 Q(k)-Q(k-1)=2(k-1)(5k-4)=2(k-1){5(k-1)+1}=10(k-1)2+2(k-1) ですので、

 k=2,3,4,……,n として加えれば、

 Q(n)-Q(1)=10・(n-1)n(2n-1)/6+2・(n-1)n/2=(n-1)n{5(2n-1)/3+1}

  =(n-1)n(10n-2)/3=2(n-1)n(5n-1)/3 、

 Q(1)=0 だから、Q(n)=2(n-1)n(5n-1)/3 です。

 Q(n)-Q(n-1)>2000 より 2(n-1)(5n-4)>2000 、(n-1)(n-4/5)>200 、n-1≧15 、

 n≧16 になり、最小の自然数nは 16 です。

 また、Q(16)=2(16-1)・16(5・16-1)/3=2・15・16・79/3=12640 です。


[解答2]

 下右図のように、n×n の盤のどこにクイーンを置いても縦横の移動は 2(n-1)ヶ所です。

 斜めへの移動は クイーンの置く位置によって違いますが、そのうち、左斜め前への移動は、

 動ける場所の数を書き込み、和を求めると、

 (n-1)2+(n-2)2+(n-3)2+……+12=(n-1)n(2n-1)/6 、

 右斜め前,左斜め後,右斜め後 も同じです。従って、

 Q(n)=2(n-1)n2+4・(n-1)n(2n-1)/6=2(n-1)n{n+(2n-1)/3}=2(n-1)n(5n-1)/3 です。

 Q(n-1)=2(n-2)(n-1)(5n-6)/3 ですので、

 Q(n)-Q(n-1)=2(n-1)n(5n-1)/3-2(n-2)(n-1)(5n-6)/3

  =2(n-1){n(5n-1)-(n-2)(5n-6)}/3=2(n-1){n(5n-1)-(n-2)(5n-6)}/3

  =2(n-1)(15n-12)/3=2(n-1)(5n-4) です。

 Q(n)-Q(n-1)>2000 より 2(n-1)(5n-4)>2000 、(n-1)(n-4/5)>200 、n-1≧15 、

 n≧16 になり、最小の自然数nは 16 です。

 また、Q(16)=2(16-1)・16(5・16-1)/3=2・15・16・79/3=12640 です。

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Comments 10

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
今頃に咲いている可愛いお花!♪ランタナにも似ている可愛いお花ですね(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
雪予報なのにいい空が広がってて嬉しい朝!
インフル休暇が終わって今日から孫も学校へ・・

今日の花は優しいピンク、葉も瑞々しい
今時こんな花が見れていいですね。

ひとりしずか  
No title

アオギリ科ドムベア属のドンベア・ワリッキーでしょうか?
くすだまのような花のかたまり、冬にこんな花が見られるってうれしいですね~

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
めちゃややこしい計算をしてしまいました...^^;
nが偶数と奇数とでQ(n)の式が異なるし...
3次式の引き算はできずと思いPCに解かせました Orz...

ちなみに...
Q(2m)=(4/3)m(2m-1)(10m-1)
Q(2m+1)=(8/3)m(10m^2+9m+2)
となったのですが...貴殿のQ(n)と同じになること確認できました ♪

で...
実際は、差は...以下の2次方程式になるのでしたか...^^;;
(8/3)m(10m^2+9m+2)-(4/3)m(2m-1)(10m-1)
=4m(10m+1)>2000
(4/3)m(2m-1)(10m-1)-(8/3)(m-1)(10(m-1)^2+9(m-1)+2)
=4(5m-2)(2m-1)>2000

POPS  
No title

こんばんは。
この赤い花は何ですか?
細かな花びらが綺麗で、温室に咲いているのでしょうか。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ランタナよりかなり大きな花でドンベアと言います。
花の文化園の温室で、今の時期に咲きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園の温室で見たものです。この時期に見られて嬉しいです。
ところで、インフルエンザの流行があったのですか。
日本海側はこちらより湿度が高いので、少しはましだと思っていました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ドンベアです。ワリッキーというのですね。
ピンクボールの別名が覚えやすいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
斜め方向の利きはややこしいですが、方向を限定すれば分かり易いです。
それと、3次式の階差は2次式です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はドンベアです。ピンクボールの別名があります。
花の文化園の温室で見ました。