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[答1265] 楕円と長さ

ヤドカリ

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[答1265] 楕円と長さ


 楕円に内接する四角形ABCDの対角線AC,BDの交点が焦点Fと一致し、

 FA=36 ,FB=42 ,FC=28 のとき、FD=? 


[解答1]

 焦点Fを通る弦をPQとし、もう1つの頂点をF',FF'=c ,長軸の長さを a とします。

 また、FP=p ,FQ=q とすれば F'P=a-p ,F'Q=a-q です。

 △F'PQ において、スチュワートの定理より、FQ・F'P2+FP・F'Q2=PQ・(FF'2+FP・FQ) ですので、

 q(a-p)2+p(a-q)2=(p+q)(c2+pq) 、a2q-2apq+p2q+a2p-2apq+pq2=(p+q)c2+p2q+pq2

 (p+q)a2-4apq=(p+q)c2 、(p+q)(a2-c2)=4apq 、(p+q)/(pq)=4a/(a2-c2) 、

 1/p+1/q=4a/(a2-c2) 、1/FP+1/FQ=4a/(a2-c2) は一定になります。

 よって、1/FD+1/FB=1/FA+1/FC 、1/FD=1/FA+1/FC-1/FB 、

 1/FD=1/36+1/28-1/42=7/252+9/252-6/252=10/252=5/126 、FD=126/5 です。


[解答2]

 極座標において、楕円の焦点を極,a>0 として (a,0)において始線に垂直な直線を準線,

 楕円の離心率を e とします。

 楕円上の点 P(r,θ)に対して、Pから準線におろした垂線をPHとすれば、PF=ePH です。

 PFcosθ+PH=a ですので、PFcosθ+PF/e=a 、

 楕円の極方程式は、r・cosθ+r/e=a 、1/e+cosθ=a/r です。

 座標は、A(36,α),B(42,β),C(28,α+π),D(FD,β+π) と書けて、

 1/e+cosα=a/36 ,1/e+cosβ=a/42 ,1/e-cosα=a/28 ,1/e-cosβ=a/FD ですので、

 2/e=a/36+a/28=a/42+a/FD 、1/36+1/28=1/42+1/FD 、

 1/FD=1/36+1/28-1/42=7/252+9/252-6/252=10/252=5/126 、FD=126/5 です。

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Comments 11

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ヤドカリ  
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写真の花はストレプトカーパス(ジェラスハート)です。
花の文化園の温室で見ました。

ひとりしずか  
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あら~双子ちゃん、かわいらしい

アキチャン  
No title

おはようございます。
似たお花を思い出していましたが、温室育ちなのですね。可愛いですね(*´∀`*)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
名前しか覚えてなかったスチュアートの定理の使い方がわかりました☆
右上の図の三角を点対称にくっつけると、内部に平行四辺形ができるので、
焦点から楕円上までの距離の和=42+36=78 として...
余弦定理から求めましたが...これってたまたまなんでっしゃろか...^^; Orz~

ニリンソウ  
No title

ストレプトカーパスでしたか、色も数種ありますね。
毎日花が見れて嬉しいお部屋です。

花の文化園いいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
温室の花ですか。
鮮やかで綺麗ですね~。
一瞬朝顔っぽい花だなぁと思いましたよ。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
双子ちゃんに見えましたか。
私にはない発想です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
イワタバコ科の花で、温室ではよく見られます。
きっと、似た花が記憶の深い所にあるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
AF'BFが平行四辺形になるのは、ABが楕円の中心を通るときです。
その保証はありません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
明日もストレプトカーパスの別のをアップしようと思います。
花の少ない冬、温室はありがたいです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
朝顔も品種が多いので、似たようなものがありそうですね。
色鮮やかな花はインパクトがあります。