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[答1266] 2次方程式の整数解

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1266] 2次方程式の整数解


 p が素数で、2次方程式 x2-(8p-10)x+p(7p-5)=0 の解がともに整数のとき、

 p の値と そのときの解は?


[解答1]

 解の公式により、x=(4p-5)±√{(4p-5)2-p(7p-5)}=(4p-5)±√(9p2-35p+25) です。

 p=2 のとき x=3±3i で適さず、p=3 のとき x=7±1=8,6 です。

 p≧5 のとき、qを負でない整数として、9p2-35p+25=q2 とおけば、

 (3p-5)2-q2=5p 、(3p-5+q)(3p-5-q)=5p>0 になり、3p-5+q>0 だから 3p-5-q>0 、

 よって、3p-5+q≧3p-5-q>0 、(3p-5+q,3p-5-q)=(p,5),(5p,1) です。

 (3p-5+q,3p-5-q)=(p,5) のとき、(p,q)=(3,-1) 不適、

 (3p-5+q,3p-5-q)=(5p,1) のとき、(p,q)=(11,27) 、x=39±27=66,12 、

 まとめて、p=3 のとき x=6,8 で、p=11 のとき x=12,66 です。


[解答2]

 解をα,βとすれば、解と係数の関係により α+β=8p-10 ,αβ=p(7p-5) ですので、

 αβ=p(8p-10-p+5)=p(α+β)-p2+5p 、(α-p)(β-p)=5p になり、

 {α-p,β-p}={1,5p},{-1,-5p},{5,p},{-5,-p} なので、

 {α,β}={p+1,6p},{p-1,-4p},{p+5,2p},{p-5,0} 、

 α+β=7p+1,-3p-1,3p+5,p-5 、

 7p+1=8p-10,-3p-1=8p-10,3p+5=8p-10,p-5=8p-10 を解いて、

 p=11,9/11,3,5/7 になり、素数は p=11,3 です。

 p=11 のとき、x2-78x+792=0 、(x-12)(x-66)=0 、x=12,66 で、

 p=3 のとき、x2-14x+48=0 、(x-6)(x-8)=0 、x=6,8 です。


[解答3]

 x2-{p+(7p-10)}x+p(7p-10)=-5p 、(x-p)(x-7p+10)=-5p だから、

 {x-p,x-7p+10}={1,-5p},{5p,-1},{5,-p},{p,-5} であり、

 要素の差を考えれば、(x-p)-(x-7p+10)=1+5p,5p+1,5+p,p+5 、

 6p-10=5p+1,p+5 、 p=11,3 になり、いずれも素数で適します。

 p=11 のとき、x2-78x+792=0 、(x-12)(x-66)=0 、x=12,66 で、

 p=3 のとき、x2-14x+48=0 、(x-6)(x-8)=0 、x=6,8 です。

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Comments 11

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ヤドカリ  
No title


写真の花はタッカシャントリエリです。
キャッツウィスカー,ブラックキャット,
バットフラワー,デビルフラワー等
いろいろな名前で呼ばれます。
花の文化園の温室で見ました。

ひとりしずか  
No title

個性が~細長い糸状のとか花の後ろの葉のような総苞片など、色も……
現地では、地下茎を食用とし、若葉と花はカレー料理にと食されているんですネ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
難儀でした...^^;
[解答2]をエレファントに...^^;;
[解答3]はエレガントですね☆
勉強になりました ^^...Orz~

ニリンソウ  
No title

↑どの名前でも知らなかった!
温室咲きでしたか、雫があるので路地かと思った。
変わった花ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
調べて頂いたのですね。食用になるとは知りませんでした。
私は珍しい色の花として撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
素数という条件をどのように使うか、
いろいろ工夫できるのが面白いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
東南アジア~マレー半島にかけて分布するそうです。
色も姿もユニークですね。

POPS  
No title

こんばんは。
形と色合いが個性的で、見た事の無い花です。
温室で栽培さているんですね~。
ナイス

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは~
珍しい花ですねー!!
ひげがあって色も形もエミールガレの瓶になりそうな・・・
凄く惹かれる花です!気に入りました

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
東南アジアの植物ですので、温室でないと育たないのだと思います。
色が色だけに、見逃しやすい花です。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
凄く惹かれますか。私も珍しい花だとは思います。
あまり花らしくない色合いですね。