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[答1267] 八面体の体積

ヤドカリ

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[答1267] 八面体の体積


 図のような、1辺が 3√14 の正三角形が2枚と 斜辺が 3√14 の直角二等辺三角形6枚でできる

 展開図をもつ八面体の体積は?


[解答1] たけちゃんさんのコメントより

 正三角形の2面は平行であり,その2面と垂直な方向から立体を見ると,

 2つの正三角形は,中心に関して対称な位置に見える.

 一方の正三角形が xy平面上にあるとし,

 その中心を(0,0,0),3頂点を(√42,0,0),(-(√42)/2,±(3√14)/2,0) とする.

 もう一方の正三角形は z>0 にあるとして,3頂点は(-√42,0,a),((√42)/2,±(3√14)/2,a) とおけて,

 {(√42)/2}2+{(3√14)/2}2+a2=(3√7)2より,a=√21.


 [方法1](積分を利用して)

  八面体の,平面 z=at (0<t<1)による断面は,

  すべての内角が 120゚ で,辺長が交互に (3√14)t と (3√14)(1-t) である六角形であり,

  一辺 (3√14)(1+t) の正三角形から一辺 (3√14)t の正三角形を3つ除いたものとなって,

  その面積は,{(√3)/4}・(3√14)2・{(1+t)2-3t2}=(63√3)(1+2t-2t2)/2.

  以上より,求める体積は,

  a01 {(63√3)(1+2t-2t2)/2}dt ={(189√7)/2}[t+t2-(2/3)t3]01 ={(189√7)/2}(1+1-2/3)=126√7.


 [方法2](正八面体に変換して)

  八面体を,xy平面を中心に z軸方向に拡大し,正八面体になるようにする.

  このとき,xy平面と平行(一致を除く)である面がz=b上にあるとして,

  {(√42)/2}2+{(3√14)/2}2+b2=(3√14)2より,b=2√21=2a.

  よって,求める体積は,一辺の長さが 3√14 の正八面体の体積の 1/2 倍であり,

   底面が一辺3√14の正方形,高さが3√7である四角錐の体積と一致するから,

  (3√14)2・(3√7)・(1/3)=126√7.


[解答2]

 下左図のように、1辺が 3√14 の正三角形の面に垂直な方向から見れば、

 1辺が (3√14)/√3=√42 の正六角形に見え、

 直角二等辺三角形の等辺は (3√14)/√2=3√7 だから、高さを h とすれば、

 (√42)2+h2=(3√7)2 、h2=21 になり、

 1辺が 3√14 の正八面体であれば、高さを H とすれば、

 (√42)2+H2=(3√14)2 、H2=84 になりますので、h2/H2=21/84=1/4 、h/H=1/2 、

 求める八面体の体積は、1辺が 3√14 の正八面体の体積の 1/2 です。

 これは、1辺が 3√14 の正方形を底面とする高さが (3√14)/√2=3√7 の正四角錐の体積だから、

 (1/3)(3√14)2(3√7)=126√7 です。


[解答3]

 中右図のように、2個の四角錐に分けることができ、長方形を底面にすれば、

 長方形の2辺は、3√14 ,(3√14)/√2=3√7 、高さは (3√14)/2 ですので、

 求める体積は、2・(1/3)(3√14)(3√7)(3√14)/2=126√7 です。



[解答4]

 下右図のような 1辺が 3√7 の立方体から、等辺が 3√7 の二等辺三角形を側面とする正三角錐を

 2個除いたものになり、正三角錐の体積は 立方体の体積の 1/6 だから、

 (3√7)3(1-2・1/6)=33・(7√7)・2/3=126√7 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

トケイソウの仲間かなぁ~……
花びらの色にぬくもりを感じます(今朝も風に雪が舞って~)

アキチャン  
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おはようございます。
トケイソウのようなお花、これも温室育ちでしょうか(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
今日も雪山歩いてきました。

今日の花はトケイソウに似てるね。
いろんな花見れてうれしいです、名前教えてくださいね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
展開図からの組み立てという空間認識力に乏しいわたしですが...
ふと[解答4]に気づけましたぁ^^
天啓っての☆
解けて嬉しや♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらは雪の舞う日が多いようですね。
トケイソウに似た花ですが、赤みがあって暖かそうですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、これも温室育ちです。
トケイソウのような花は種類が多いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
今日も雪山ですか、健脚ですね。
名前は分かりません。トケイソウの一種だと思って撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答4]が想定解です。気づいてくれたと思いました。
立体は上手く解けると爽快ですね。

POPS  
No title

こんばんは。
たしかにトケイソウっぽい雰囲気の花え、スイレンの様なフォルムにも様にも見えて綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとイス!をありがとうございます。
ナトケイソウのような花です。
ふつうに蔓植物ですので、スイレンは連想できませんでしたが、
写真で見ればそのように見えるかも知れません。