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[答1268] 三角形の垂心と長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1268] 三角形の垂心と長さ


 鋭角三角形ABCにおいて、頂点から対辺への垂線を AD,BE,CF 、△ABCの垂心を H とします。

 AF=44/15 ,AH=64/15 ,AE=56/15 のとき、(FB,HD,EC)=?


[解答1]

 cos∠HAF=AF/AH=(44/15)/(64/15)=11/16 より sin∠HAF=(3√15)/16 、

 cos∠HAE=AE/AH=(56/15)/(64/15)=7/8 より sin∠HAE=(√15)/8 、

 cos∠BAC=cos(∠HAF+∠HAE)=cos∠HAFcos∠HAE-sin∠HAFsin∠HAE=77/128-45/128=1/4 、

 BAcos∠BAC=AE だから、BA/4=56/15 、BA=224/15 、FB=BA-AF=224/15-44/15=12 、

 CAcos∠BAC=AF だから、CA/4=44/15 、CA=176/15 、EC=CA-AE=176/15-56/15=8 、

 四角形FBDHは円に内接するので、方べきの定理より、AH・AD=AF・AB 、

 (64/15)AD=(44/15)(224/15) 、AD=154/15 、HD=AD-AH=154/15-64/15=6 になって、

 (FB,HD,EC)=(12,6,8) です。


[解答2]

 △HAFにおいて、HA:AF=64/15:44/15=16:11 、三平方の定理より、HA:AF:FH=16:11:3√15 です。

 △HCD∽△HAF より、HC:CD:DH=HA:AF:FH=16:11:3√15 だから、

 HC=16k ,CD=11k ,DH=(3√15)k とします。

 △HAEにおいて、HA:AE=64/15:56/15=8:7 、三平方の定理より、HA:AE:EH=8:7:√15 です。

 AE:EH=7:√15 から、56/15:EH=7:√15 、7EH=56/√15 、EH=8/√15 です。

 △HBD∽△HAE より、HB:BD:DH=HA:AE:EH=8:7:√15=24:21:3√15 だから、

 HB=24k ,BD=21k になり、BC=BD+CD=21k+11k=32k です。

 △BCF∽△HAF より、

 BC:CF:FB=HA:AF:FH=16:11:3√15=32:22:6√15 だから、CF=22k ,FB=(6√15)k 、

 △CBE∽△HAE より、

 CB:BE:EC=HA:AE:EH=8:7:√15=32:28:4√15 だから、BE=28k ,EC=(4√15)k 、

 EH=BE-BH=28k-24k=4k ですので、4k=8/√15 、k=2/√15です。

 これで、図中の線分すべての長さが分かったことになり、

 (FB,HD,EC)=((6√15)k,(3√15)k,(4√15)k)=(12,6,8) です。


[解答3] 一般化すると(かなり面倒でした)

 AD=a ,BE=b ,CF=c ,FB=x ,HD=y ,EC=z とします。

 四角形FBDH,四角形HDCE は円に内接するので、方べきの定理より、

 AF・AB=AH・AD=AE・AC 、a(a+x)=b(b+y)=c(c+z)=k とおくと、

 ax=k-a2 ,by=k-b2 ,cz=k-c2 、x=k/a-a ,y=k/b-b ,z=k/c-c 、

 メネラウスの定理より、(AH/HD)(DC/CB)(BF/FA)=1 ,(AH/HD)(DB/BC)(CE/EA)=1 、

 (AH/HD)(DC/CB)=FA/BF ,(AH/HD)(DB/BC)=EA/CD 、辺々加えて、

 (AH/HD)(DC/CB+DB/BC)=FA/BF+EA/CD 、(AH/HD)(DC+DB)/BC=FA/BF+EA/CD 、

 b/y=a/x+c/z 、bxz=ayz+cxy 、b2axcz=a2bycz+c2axby 、

 b2(k-a2)(k-c2)=a2(k-b2)(k-c2)+c2(k-a2)(k-b2) 、

 b2k2-a2b2k-b2c2k+a2b2c2=a2k2-a2b2k-a2c2k+a2b2c2+c2k2-a2c2k-b2c2k+a2b2c2

 (a2+c2-b2)k2-2a2c2k+a2b2c2=0 、

 ここで、△ABCは鋭角三角形だから、a2+c2-b2>0 、

 左辺に k=b2 を代入すれば、(a2+c2-b2)b4-a2b2c2=-b2(b2-a2)(b2-c2)<0 だから、

 k の2つの解は b2 より大きいものと小さいもので、by=k-b2>0 より k>b2 だから、大きい方の解が適します。

 (a2+c2-b2){k/(ac)}2-2ac{k/(ac)}+b2=0 、

 k/(ac)=〔ac+√{a2c2-(a2+c2-b2)b2}〕/(a2+c2-b2) 、

 k=ac〔ac+√{(b2-a2)(b2-c2)}〕/(a2+c2-b2) になります。

 t=4/15 とおけば、a=AF=44/15=11t ,b=AH=64/15=16t ,c=AE=56/15=14t だから、

 k=154t2{154t2+√(135t2・60t2)}/(61t2)=154t2(154+90)/61=616t2 です。

 (FB,HD,EC)=(x,y,z)=(k/a-a,k/b-b,k/c-c)=(616t2/(11t)-11t,616t2/(16t)-16t,616t2/(14t)-14t)

  =(56t-11t,77t/2-16t,44t-14t)=(45t,45t/2,30t)=15t(3,3/2,2)=4(3,3/2,2)=(12,6,8) です。

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Comments 11

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ヤドカリ  
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今日は立春ですが、
写真の花はセツブンソウです。
花の文化園で見ました。

ひとりしずか  
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やはりセツブンソウ
昨夜から雨です~

アキチャン  
No title

おはようございます。
実際に見たことがあったのかしら?写真には撮っていないと言うことは見たことがないようです。地面から直接咲くのですね。綺麗♪(*´∀`*)

ニリンソウ  
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> ヤドカリさん,セツブンソウ可憐ですね
新潟の山では見かけません、苗買って植えても翌年出てきません
寒い時に咲く花なのに?
奥秩父の群生地に一度だけ行ったことがありました。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
諦めかけてたのですが...tanとピタゴラスと相似でなんとか切り抜けられましたわ ^^;v
△を使った問題って際限なく作れるものだと感心しきり...☆ Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
セツブンソウ咲きだしましたね。
外の花も少しずつ増え始めて、福寿草やマンサクの開花も始まりましたね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
セツブンソウです。可愛い花です。
ところで、こちらも、昨夜から明け方まで雨でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
セツブンソウを実際に見る機会があればいいですね。
私も、知っているけど実物を見たことがない花がたくさんあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も、花の文化園以外で見たことがありません。
可憐で可愛いこの花が、他の所にも咲いてくれれば嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
もちろん、三角形を使った問題はいろいろ作ることができます。
明快に解けるものを探すのが作問のような気もします。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るとおり、春の花が外にも咲き出しました。
これからいろいろな花が一斉に咲き出しますね。