[答1269] 2つの部分の面積が等しいときの定数
[答1269] 2つの部分の面積が等しいときの定数
0<a<16 とし、y=|x(x-a)| のグラフを G とします。
原点と グラフG上のx座標が16である点を結ぶ線分とグラフGで囲まれる
2つの部分(水色とピンク)の面積が等しいとき、a=?
[準備]
放物線 y=x2+bx+c と 直線が2点で交わるとき、交点のx座標を α,β (α<β) とすれば、
囲まれる部分の面積は、 ∫αβ {-(x-α)(x-β)}dx=(β-α)3/6 です。
[解答1]
原点と グラフG上のx座標が16である点を結ぶ直線を y=mx とします。
y=mx と y=x(x-a) の交点のx座標は x=0,a+m 、
y=mx と y=-x(x-a) の交点のx座標は x=0,a-m 、
水色の部分の面積は (a-m)3/6 になり、
ピンクの部分の面積は 交点が(a-m,am-m2),(a+m,am+m2)であることに注意して、
(am-m2+am+m2)・2m/2-(am-m2)m/2-(am+m2)m/2-m3/6+m3/6=am2 です。
よって、am2=(a-m)3/6 、6am2=(a-m)3 、6am2=a3-3a2m+3am2-m3 、
m3+3am2+3a2m=a3 、(m+a)3=2a3 、
a+m=16=24 だから、a3=(m+a)3/2=212/2=211 、a=211/3=23・22/3=8・3√4≒12.6992…… です。
[解答2]
水色の部分にもピンクの部分にも黄色の部分を加えて、水色の部分をx軸に関して折り返せば、
a3/6=(163/6)/2 、a3=163/2=212/2=211 、a=211/3=23・22/3=8・3√4≒12.6992…… です。
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