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[答1269] 2つの部分の面積が等しいときの定数

ヤドカリ

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[答1269] 2つの部分の面積が等しいときの定数


 0<a<16 とし、y=|x(x-a)| のグラフを G とします。

 原点と グラフG上のx座標が16である点を結ぶ線分とグラフGで囲まれる

 2つの部分(水色とピンク)の面積が等しいとき、a=?


[準備]

 放物線 y=x2+bx+c と 直線が2点で交わるとき、交点のx座標を α,β (α<β) とすれば、

 囲まれる部分の面積は、 αβ {-(x-α)(x-β)}dx=(β-α)3/6 です。


[解答1]

 原点と グラフG上のx座標が16である点を結ぶ直線を y=mx とします。

 y=mx と y=x(x-a) の交点のx座標は x=0,a+m 、

 y=mx と y=-x(x-a) の交点のx座標は x=0,a-m 、

 水色の部分の面積は (a-m)3/6 になり、

 ピンクの部分の面積は 交点が(a-m,am-m2),(a+m,am+m2)であることに注意して、

 (am-m2+am+m2)・2m/2-(am-m2)m/2-(am+m2)m/2-m3/6+m3/6=am2 です。

 よって、am2=(a-m)3/6 、6am2=(a-m)3 、6am2=a3-3a2m+3am2-m3

 m3+3am2+3a2m=a3 、(m+a)3=2a3

 a+m=16=24 だから、a3=(m+a)3/2=212/2=211 、a=211/3=23・22/3=8・3√4≒12.6992…… です。


[解答2]

 水色の部分にもピンクの部分にも黄色の部分を加えて、水色の部分をx軸に関して折り返せば、

 a3/6=(163/6)/2 、a3=163/2=212/2=211 、a=211/3=23・22/3=8・3√4≒12.6992…… です。

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Comments 8

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
昨日の温かさから10度も下がって寒い朝です。

この日本水仙が新潟でも1月から咲いてるって珍しい年です。
優しい香りがいいですね~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]なるほどでっす♪
(β-α)^3/6 の使い方がよくわかりました☆
遠回りしてましたわ ^^; Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
水仙の香りはいいですね。こちらでは年末から咲き始めます。
ところで、当方もかなり寒くなってきました。明日はもっと寒いそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
できるだけ能率よく解いてほしい問題でした。
公式の使い方を納得されたのは嬉しいことです。

POPS  
No title

こんばんは。
水仙、満開で綺麗ですね~。
ウチの方は明日は降雪の予報なので、これで今年の水仙はお終いになりそうです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
水仙の姿も香りも私は好きです。
ところで、降雪ですか。
此方で積もるのは1年に1度あるかないかです。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
今、水仙がきれいですね(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
年末から咲いている水仙ですが、今が見頃だと思います。
沢山の水仙の香りもいいですね。