[答1269] ２つの部分の面積が等しいときの定数

[答1269] ２つの部分の面積が等しいときの定数


　0＜a＜16 とし、y＝|x(x－a)| のグラフを G とします。

　原点と グラフG上のｘ座標が16である点を結ぶ線分とグラフGで囲まれる

　２つの部分(水色とピンク)の面積が等しいとき、a＝？


[準備]

　放物線 y＝x²＋bx＋c と 直線が２点で交わるとき、交点のｘ座標を α，β (α＜β) とすれば、

　囲まれる部分の面積は、 ∫_α^β {－(x－α)(x－β)}dx＝(β－α)³/6 です。


[解答1]

　原点と グラフG上のｘ座標が16である点を結ぶ直線を y＝mx とします。

　y＝mx と y＝x(x－a) の交点のｘ座標は x＝0，a＋m 、

　y＝mx と y＝－x(x－a) の交点のｘ座標は x＝0，a－m 、

　水色の部分の面積は (a－m)³/6 になり、

　ピンクの部分の面積は 交点が(a－m，am－m²)，(a＋m，am＋m²)であることに注意して、

　(am－m²＋am＋m²)･2m/2－(am－m²)m/2－(am＋m²)m/2－m³/6＋m³/6＝am² です。

　よって、am²＝(a－m)³/6 、6am²＝(a－m)³ 、6am²＝a³－3a²m＋3am²－m³ 、

　m³＋3am²＋3a²m＝a³ 、(m＋a)³＝2a³ 、

　a＋m＝16＝2⁴ だから、a³＝(m＋a)³/2＝2¹²/2＝2¹¹ 、a＝2^11/3＝2³･2^2/3＝8･³√4≒12．6992…… です。


[解答2]

　水色の部分にもピンクの部分にも黄色の部分を加えて、水色の部分をｘ軸に関して折り返せば、

　a³/6＝(16³/6)/2 、a³＝16³/2＝2¹²/2＝2¹¹ 、a＝2^11/3＝2³･2^2/3＝8･³√4≒12．6992…… です。

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