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[答1270] 平行四辺形と三角形の面積

ヤドカリ

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[答1270] 平行四辺形と三角形の面積


 平行四辺形ABCDの 辺BC上に点Eを 辺CD上に点Fを とります。

 △AEF=74 ,△CFE=12 ,△ADF-△ABE=58 のとき、(△ABE,△ADF)=?


[解答1]

 BE=b ,△ABEのBEを底辺とする高さを h ,AD=d ,△ADFのADを底辺とする高さを g とすれば、

 EC=d-b ,△FECのECを底辺とする高さは h-g です。

 平行四辺形ABCD=dh なので、dh-△ADF-△ABE=△AEF+△CFE 、

 dh-△ADF-△ABE=86 と △ADF-△ABE=58 の和と差をとって、

 dh-2△ABE=144 ,dh-2△ADF=28 、dh-bh=144 ,dh-dg=28 、(d-b)h=144 ,(h-g)d=28 、

 辺々乗じて、(d-b)(h-g)dh=144・28 、(2△CFE)dh=144・28 、24dh=144・28 、dh=168 です。

 dh-2△ABE=144 ,dh-2△ADF=28 より、168-2△ABE=144 ,168-2△ADF=28 、

 (△ABE,△ADF)=(12,70) です。


[解答2]

 △ABC=△BCD=△CDA=S とします。

 △ABE=△ABC-△ACE=S-△ACE ,△ADF=△CDA-△ACF=S-△ACF になり、

 △ADF-△ABE=58 だから、(S-△ACF)-(S-△ACE)=58 、△ACE-△ACF=58 です。

 また、△ACE+△ACF=△AEF+△CFE=74+12=86 なので、△ACE=72 ,△ACF=14 です。

 次に、△ACE=(CE/CB)△ABC=(CE/CB)S ,△ACF=(CF/CD)△CDA=(CF/CD)S ,

 △CFE=(CE/CB)(CF/CD)△BCD=(CE/CB)(CF/CD)S だから、△CFE・S=△ACE・△ACF 、

 S=△ACE・△ACF/△CFE=72・14/12=84 、

 (△ABE,△ADF)=(S-△ACE,S-△ACF)=(84-72,84-14)=(12,70) です。


[解答3]

 辺AD上に AP=BE となる点Pを 辺AB上に AQ=DF となる点Qを とり、PEとQFの交点をOとします。

 △OQE=△PQE-△OPQ=△ABE-△OPQ ,△OFP=△PQF-△OPQ=△ADF-△OPQ 、

 また、△OEF=△CFE=12 です。

 平行四辺形ABCD=2(△OPQ+△OQE+△OEF+△OFP)=△ABE+△ADF+△AEF+△CFE 、

 2(△OPQ+△ABE-△OPQ+12+△ADF-△OPQ)=△ABE+△ADF+74+12 、

 △ADF+△ABE=2△OPQ+62 になり、△ADF-△ABE=58 だから、

 △ABE=△OPQ+2 ,△ADF=△OPQ+60 になり、

 △OQE=△ABE-△OPQ=2 ,△OFP=△ADF-△OPQ=60 です。

 ここで、△OEF・△OPQ=△OQE・△OFP だから、12△OPQ=2・60 、△OPQ=10 です。

 △OPQ=10 、(△ABE,△ADF)=(△OPQ+2,△OPQ+60)=(12,70) です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

スイセンの原種でナルキスス(種類がたくさんあるようで~)

かわいらしい

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
原種スイセンの素朴な姿は素敵ですね。
ナルキサス カンタブリクス フォリオスス と書かれていました。

ニリンソウ  
No title

原種水仙ですね、葉も細くて花も水仙とはかけ離れていますね。
植物園でみます。

POPS  
No title

こんばんは。
真っ白で綺麗な花で、朝顔みたいな雰囲気ですね~。
水仙の仲間とはびっくりです。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
どうやったのか思い出せませんが...^^;
パズルのようで面白かった記憶あります Orz~

今朝起きてみたら...なごり雪の世界になってました♪

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
原種スイセン、Narcissus ~ の名前ですが、
ナルシストの語源になるように、魅力があります。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
原種のスイセンはたいていこんな形です。
初めて見たとき、私もこんな水仙もあるのかと思いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は何となく解けますが、解き方は忘れやすいと思います。
ところで、こちらは積雪はありませんでした。