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[答1275] 弓形に内接する円

ヤドカリ

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[答1275] 弓形に内接する円


 半径が 196 の円と 中心から 44 の距離にある直線でできる2つの弓形の小さい方について、

 弓形の内部にあり、弦にも弧にも内接する円を弓形の内接円ということにすると、

 半径が 40 の弓形の内接円と 半径が r の弓形の内接円が外接するとき、r=?


[解答]

 弓形の弧の半径を R ,中心と弦の距離を d ,内接円の半径を r,s とし、

 xy平面上で、弓形の弧,半径 r の内接円,半径 s の内接円の中心を

 それぞれ O(0,0),A(p,d+r),B(q,d+s) とします。

 OA2=p2+(d+r)2=(R-r)2 より、p2=(R-r)2-(d+r)2=(R+d)(R-d-2r) 、

 OB2=q2+(d+s)2=(R-s)2 より、q2=(R-s)2-(d+s)2=(R+d)(R-d-2s) 、

 AB2=(p-q)2+(s-r)2=(s+r)2 より、

 (p-q)2=(s+r)2-(s-r)2=4rs 、p2-2pq+q2=4rs 、

 pq=p2/2+q2/2-2rs=(R+d)(R/2-d/2-r)+(R+d)(R/2-d/2-s)-2rs=(R+d)(R-d-r-s)-2rs 、

 p2q2={(R+d)(R-d-r-s)-2rs}2=(R+d)2(R-d-2r)(R-d-2s) 、

 {(R-d-r-s)-2rs/(R+d)}2=(R-d-2r)(R-d-2s)=(R-d-r-s-r+s)(R-d-r-s+r-s) 、

 (R-d-r-s)2-4rs(R-d-r-s)/(R+d)+4r2s2/(R+d)2=(R-d-r-s)2-(r-s)2

 (r+s)2-4rs-4rs(R-d)/(R+d)+4rs(r+s)/(R+d)+4r2s2/(R+d)2=0 、

 {r+s+2rs/(R+d)}2=8Rrs/(R+d) です。

 本問では R=196,d=44,s=40 として、2rs/(R+d)=40r/240=r/3 だから、

 (r+40+r/3)2=4・196・r/3 、(3r+120+r)2=3・4・196・r 、(r+30)2=3・49・r 、

 r2+60r+900=147r 、r2-87r+900=0 、(r-12)(r-75)=0 、r=12,75 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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はじめて見たとき花の大きいのにびっくりでした

ニリンソウ  
No title

おはようございます
今日から3月だークリスマスローズ庭でもやっと咲きました。
白です
こちらはクリーム色で俯かないタイプかな。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

クリスマスローズが咲いているのですね。
ヤドカリさん地方は花の咲いていない季節はないのでしょう。

花があると癒されますね。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
同じような式なんだと思うけど...
手計算は諦めましたわ ^^; Orz~
計算機持ち込み式の入試でなきゃ受かりましぇんばい...^^;;
昔も現代も、貴殿のような手練れ者が問題解決に寄与されてましたのでしょうねぇ^^☆

POPS  
No title

こんばんは。
クリスマスローズ綺麗に咲いてますね~。
沢山咲いていて、先月頭にグリーンセンターで咲き始めを見たきりです。
こちらも見頃に入ってる様です。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はいつ初めて見たのか記憶にありませんが、
確かに、花弁が立派で大きいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは早くから咲いていますが、今頃が見頃だと思います。
いろんな花の色がありますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこ日記さん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
外でも何らかの花は咲いていますが、立春後に増えてきます。
花とブログに癒されていたのですが、困ったことになりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
手計算で解くと、別の問題作りにも役立つこともあります。
もちろん、報われないことも多いです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
名前の通り、早いのはクリスマス頃に咲きますが、
本番は立春を過ぎてからですね。