[答1275] 弓形に内接する円

[答1275] 弓形に内接する円


　半径が 196 の円と 中心から 44 の距離にある直線でできる２つの弓形の小さい方について、

　弓形の内部にあり、弦にも弧にも内接する円を弓形の内接円ということにすると、

　半径が 40 の弓形の内接円と 半径が r の弓形の内接円が外接するとき、r＝？


[解答]

　弓形の弧の半径を R ，中心と弦の距離を d ，内接円の半径を r，s とし、

　xy平面上で、弓形の弧，半径 r の内接円，半径 s の内接円の中心を

　それぞれ O(0，0)，A(p，d＋r)，B(q，d＋s) とします。

　OA²＝p²＋(d＋r)²＝(R－r)² より、p²＝(R－r)²－(d＋r)²＝(R＋d)(R－d－2r) 、

　OB²＝q²＋(d＋s)²＝(R－s)² より、q²＝(R－s)²－(d＋s)²＝(R＋d)(R－d－2s) 、

　AB²＝(p－q)²＋(s－r)²＝(s＋r)² より、

　(p－q)²＝(s＋r)²－(s－r)²＝4rs 、p²－2pq＋q²＝4rs 、

　pq＝p²/2＋q²/2－2rs＝(R＋d)(R/2－d/2－r)＋(R＋d)(R/2－d/2－s)－2rs＝(R＋d)(R－d－r－s)－2rs 、

　p²q²＝｛(R＋d)(R－d－r－s)－2rs｝²＝(R＋d)²(R－d－2r)(R－d－2s) 、

　｛(R－d－r－s)－2rs/(R＋d)｝²＝(R－d－2r)(R－d－2s)＝(R－d－r－s－r＋s)(R－d－r－s＋r－s) 、

　(R－d－r－s)²－4rs(R－d－r－s)/(R＋d)＋4r²s²/(R＋d)²＝(R－d－r－s)²－(r－s)² 、

　(r＋s)²－4rs－4rs(R－d)/(R＋d)＋4rs(r＋s)/(R＋d)＋4r²s²/(R＋d)²＝0 、

　｛r＋s＋2rs/(R＋d)｝²＝8Rrs/(R＋d) です。

　本問では R＝196，d＝44，s＝40 として、2rs/(R＋d)＝40r/240＝r/3 だから、

　(r＋40＋r/3)²＝4･196･r/3 、(3r＋120＋r)²＝3･4･196･r 、(r＋30)²＝3･49･r 、

　r²＋60r＋900＝147r 、r²－87r＋900＝0 、(r－12)(r－75)＝0 、r＝12，75 です。

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