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[答1277] 3以上の自然数の和

ヤドカリ

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[答1277] 3以上の自然数の和


 例えば 10 は、 7+3 ,6+4 ,5+5 ,4+6 ,3+7 ,4+3+3 ,3+4+3 ,3+3+4 と、

 3以上の自然数 2個以上の和での表し方が 8 種類あります。

 では、23 は 3以上の自然数 2個以上の和での表し方は 何種類?


[解答1]

 a,b,c,d,e,f,g を3以上の自然数とします。

 a+b=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)=19 、

 a+b+c=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)+(c-2)=17 、

 a+b+c+d=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)+(c-2)+(d-2)=15 、

 a+b+c+d+e=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)+(c-2)+(d-2)+(e-2)=13 、

 a+b+c+d+e+f=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)+(c-2)+(d-2)+(e-2)+(f-2)=11 、

 a+b+c+d+e+f+g=23 と表される場合 (a-2)+(b-2)+(c-2)+(d-2)+(e-2)+(f-2)+(g-2)=9

 のように書き換えると、(   )内は自然数なので、

 18116214312410586=18+120+364+495+252+28=1277 種類です。


[解答2]

 n は 3以上の自然数の和での表し方が 1個だけの場合も和と認め、 an 種類とすれば、

 a1=a2=0 ,a3=1 で、n≧4 のとき、最後に加える数が 3,4,5,…… のそれぞれの場合の和を考え、

 an=an-3+an-4+an-5+……+a1 で、an-1=an-4+an-5+……+a1 なので、an=an-1+an-3 です。

 a4=a3+a1=1 ,a5=a4+a2=1 ,a6=a5+a3=2 ,a7=a6+a4=3 ,a8=a7+a5=4 ,a9=a8+a6=6 ,

 a10=a9+a7=9 ,a11=a10+a8=13 ,a12=a11+a9=19 ,a13=a12+a10=28 ,a14=a13+a11=41 ,

 a15=a14+a12=60 ,a16=a15+a13=88 ,a17=a16+a14=129 ,a18=a17+a15=189 ,a19=a18+a16=277 ,

 a20=a19+a17=406 ,a21=a20+a18=595 ,a22=a21+a19=872 ,a23=a22+a20=1278 ですので、

 求める場合の数は、a23-1=1278-1=1277 です。

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Comments 6

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ひとりしずか  
No title

フキ味噌大好き
家の横に出たウキノトウお隣さんにあげました(^.^)
(多分てんぷらになったかと……)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは探しに行かないと見られない蕗の薹、
「家の横に出たフキノトウ」というのがいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
3が2~7個の場合で、それぞれから、残りの数を重複して選んだ和で考えました ^^...どうも、[解答1]と同じになるようです...♪
漸化式の発想は難しいっていうか苦手ですばい...^^;...Orz~

次問...いまだ解けそで解けず...^^;;

POPS  
No title

こんばんは。
蕗の薹ですか。つくし共々に見かけると春を感じますね~。
天ぷらにしても美味しいですしね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答1]はちょっとした違いの等価な解き方がいろいろあると思います。
[解答2]の漸化式は誰も使っていませんでした。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
蕗の薹も春を感じさせる野草ですね。
いろんな野草の花が見られる季節になりました。