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[答1278] 4個の円の半径

ヤドカリ

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[答1278] 4個の円の半径


 △ABCとその外接円があって、外接円の半径は 18 で、

 Aで外接円に接し 辺BCと接する円の半径が 16 、Bで外接円に接し 辺CAと接する円の半径が 10 です。

 このとき、Cで外接円に接し 辺ABと接する円の半径は?


[解答1] たけちゃんさんのコメントより

 BC=a,CA=b,AB=c とし,

 △ABCの外接円の中心をO,Aで外接円に接し辺BCと接する円の中心をA'とする.

 また,求める半径をrとする.

 AからBCへ下ろした垂線長は c・sinB=36sinBsinC. OからBCへ下ろした垂線長は 18|cosA|.

 A'はOAを1:8に内分するから,A'からBCへ下ろした垂線長は

 (36sinBsinC±8・18|cosA|)/9=16であり,複号は cosA の符号と一致して,

 36sinBsinC+8・18cosA=144,つまり,sinBsinC+4cosA=4.

 同様に,4・36sinAsinC+5・18cosB=90より,8sinAsinC+5cosB=5,

 (18-r)・36sinAsinB+r・18cosC=18rより,2(18-r)sinAsinB+rcosC=r.

 x・sinBsinC=1-cosA=sin2A/(1+cosA)とすると,

 xbc/(4R2)=a2/(4R2)・(2bc)/(2bc+b2+c2-a2).

 x=(2a2)/{(b+c)2-a2}=2/{(b/a+c/a)2-1}. (b/a+c/a)2=2/x+1.

 1/{√(2/x+1)+1}=a/(a+b+c).

 同様に,y・sinAsinC=1-cosB,z・sinAsinB=1-cosCとすると,

 1/{√(2/y+1)+1}=b/(a+b+c),1/{√(2/z+1)+1}=c/(a+b+c) であり,

 1/{√(2/x+1)+1}+1/{√(2/y+1)+1}+1/{√(2/z+1)+1}=1 が成り立つ.

 本問では,x=1/4,y=8/5であり,

 1/{√9+1}+1/{√(9/4)+1}+1/{√(2/z+1)+1}=1 より,z=49/60.

 したがって,2(18-r)/r=49/60 であり,r=2160/169=12.781065…… .


[解答2]

 BC=a ,CA=b ,AB=c ,求める円の半径を r とします。

 また、Aで外接円に接し辺BCと接する円と 辺ABとの交点をE ,辺ACとの交点をF ,

 この円と辺BCとの接点を D とします。

 外接円を含め、△ABCと△AEFは Aを相似の中心として相似です。

 その相似比を 1:(1-k) とすれば、BE=kBA=kc ,CF=kCA=kb ですので、

 方べきの定理により、BD2=BE・BA=kc2 ,CD2=CF・CA=kb2 になり、BD2・CD2=k2b2c2 、BD・CD=kbc 、

 a2=(BD+CD)2=BD2+2BD・CD+CD2=kc2+2kbc+kb2=k(b+c)2 だから、

 k=a2/(b+c)2 、1-a2/(b+c)2=16/18 です。

 同様に、1-b2/(c+a)2=10/18 、 1-c2/(a+b)2=r/18 です。

 よって、a2/(b+c)2=1-16/18=1/9 ,b2/(c+a)2=1-10/18=4/9 ,c2/(a+b)2=1-r/18 、

 √(1-r/18)=x として、a/(b+c)=1/3 ,b/(c+a)=2/3 ,c/(a+b)=x 、

 (b+c)/a=3 ,(c+a)/b=3/2 ,(a+b)/c=1/x 、

 (a+b+c)/a=4 ,(a+b+c)/b=5/2 ,(a+b+c)/c=1+1/x=(x+1)/x 、

 a/(a+b+c)=1/4 ,b/(a+b+c)=2/5 ,c/(a+b+c)=x/(x+1) 、

 よって、1/4+2/5+x/(x+1)=1 、x/(x+1)=7/20 、20x=7x+7 、x=7/13 です。

 √(1-r/18)=x=7/13 だから、1-r/18=49/169 、r/18=120/169 、

 r=2160/169=12.781065…… です。

.

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Comments 11

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ヤドカリ  
No title


写真の花はサクランボです。
長居植物園で見ました。

ひとりしずか  
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サクランボですか~満開のようですね。

昨日仙台に行ってきましたが
高速道路の両側は大方枯れ色で~
今朝は☂(夜なかから降っています)

ニリンソウ  
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サクランボ!
優しい花なんですね・・・・見て見たいな。
月曜朝小雨です。

ほんとはメゾソプラノ  
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桜?梅?
えー!さくらんぼですか~
さくらんぼの花って活力あふれているように見えて
強そうですね~!知りませんでした!!

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
[解答2]の△の相似にすら気づけず...撃沈...^^;;
[たけちゃんさんの解法]のxがどこになるのか教えてください Orz~
また...
>c/(a+b+c)/c=x/(x+1)
は...c/(a+b+c)=x/(x+1) ですね?

熟読玩味ぃ~ですばい...^^;;;
それにしても、考えたこともない問題でしたが...
綺麗な関係式が隠れていたようですねぇ☆
貴殿の発見!!?

POPS  
No title

こんばんは。
サクランボの花でしたか。
梅とは違うし、アンズの花でもないしと思っていたので・・・
満開で綺麗ですね~。
このまま暖かいと来週にはソメイヨシノも咲きだしそうです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春がどんどん近づき、サクランボの花も綺麗に咲いていました。
ところで、こちらも今朝まで雨でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
サクランボの花がこんな状態で咲いているのを初めて見ました。
仰るように、優しい色の花ですね。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
実はよく売られていますが、花は見る機会が少ないですね。
同じバラ科のリンゴやナシの花も魅力的です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コピペミスのご指摘は訂正しました。
[解答1]の xは、どこと尋ねられても困りますが、
x・sinBsinC=1-cosA すなわち x=(1-cosA)/(sinBsinC)
としただけです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
サクランボの花も綺麗ですね。私はアンズの花も好きです。
今年も見る機会があれば嬉しいです。