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[答1279] 2個の二等辺三角形

ヤドカリ

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[答1279] 2個の二等辺三角形


 AB=AC の二等辺三角形の 辺BC上に点Pを PA=PC になるようにとります。

 AB,BP,PC が自然数であるとき、次の場合に、最も簡単な整数比の AB:BP:PC=?

 (1) BP>PC の場合  (2) BP<PC の場合


[解答]

 AB=AC=a ,BP=b ,PC=PA=c とすれば、cosB=cosC=(b+c)/(2a) です。

 余弦定理より、AP2=AB2+BP2-2・AB・BP・cosB ,AP2=AC2+CP2-2・AC・CP・cosC 、

 c2=a2+b2-2ab(b+c)/(2a) ,c2=a2+c2-2ac(b+c)/(2a) 、

 c2=a2+b2-b(b+c) ,c2=a2+c2-c(b+c) 、

 よって、c2=a2+x2-x(b+c) の解が x=b,c になります。

 x2-(b+c)x+a2-c2=0 の解が x=b,c だから、解と係数の関係により、bc=a2-c2

 (b+c)c=a2 なので、b+c,c の最大公約数を g とすれば、

 b+c=m2g ,c=n2g (m,n は互いに素な自然数で m>n) と表せ、a=mng ,b=(m2-n2)g です。

 また、a>b より、mn>m2-n2 、4n2+4mn>4m2 、4n2+4mn+m2>5m2 、(2n+m)2>5m2

 2n+m>m√5 、(√5-1)m/2<n<m で、AB:BP:PC=a:b:c=mn:(m2-n2):n2 です。

 (1) b>c の最も簡単なものは (m,n)=(3,2) で、AB:BP:PC=6:5:4 です。

 (2) b<c の最も簡単なものは (m,n)=(4,3) で、AB:BP:PC=12:7:9 です。

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

アセビ満開ですネ
かわいらしい~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
よくわからないまま...探したって感じでした ^^;
整数問題であり、2次方程式の解という複合的発想の必要な良問ねぇ☆
出だしから、掃除に取り憑かれてしまったのが敗因だったかしらん ^^;;...Orz...

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
馬酔木がどっさり、豊作!
種類があるようですがこのピンクよく見ますね。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

アセビと云う木の花なんですね。
満開の花がぽろぽろついてて可愛いです。

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アセビが鈴なりに咲いていました。
これだけ花が咲くと見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
同じ方程式の解になることを使える問題が時々あります。
うまく使えたらいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
馬酔木が咲き出すと見事に咲きます。
ピンクと白をよく見ます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは時々見かける花です。
他にも鈴なりの花がありますが、数で圧倒しています。

POPS  
No title

こんばんは。
馬酔木が沢山で、春を感じますね~。
この間グリーンセンターでも沢山成っていて、春の草花の入れ替わりが進んでますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
馬酔木が咲き、春の花の入れ替わりも感じます。
つい道端に注意しながら歩きます。