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[答1280] 内接円内の三角形

ヤドカリ

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[答1280] 内接円内の三角形


 △ABCの 辺 BC,CA,AB と内接円との接点をそれぞれ D,E,F とします。

 EF:FD:DE=16:34:35 のとき、BC:CA:AB=?


[解答1]

 △DEFの 内角を単に D,E,F と表すことにします。

 △ABCの内接円は △DEFの外接円であり、この半径を R とすれば、正弦定理より 2sinD=EF/R 、

 余弦定理より、cosD=(FD2+DE2-EF2)/(2・FD・DE) 、

 ここで、(EF2+FD2+DE2)/2=S ,EF・FD・DE=T とすれば、cosD=EF(S-EF2)/T 、

 sin2D=2sinDcosD=EF2(S-EF2)/(T・R) になり、

 同様に、sin2E=FD2(S-FD2)/(T・R) 、sin2F=DE2(S-DE2)/(T・R) です。

 次に、∠BDF=(π-B)/2 ,∠CDE=(π-C)/2 だから、

 D=π-∠BDF-∠CDE=π-(π-B)/2-(π-C)/2=(B+C)/2=(π-A)/2 になり、

 2D=π-A 、A=π-2D 、sinA=sin2D で、同様に、sinB=sin2E ,sinC=sin2F です。

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=sin2D:sin2E:sin2F

  =EF2(S-EF2)/(T・R):FD2(S-FD2)/(T・R):DE2(S-DE2)/(T・R)

  =EF2(S-EF2):FD2(S-FD2):DE2(S-DE2) です。

 本問では、EF=16k ,FD=34k ,DE=35k と表せ、

 EF2=256k2 ,FD2=1156k2 ,DE2=1225k2 ,S=(256k2+1156k2+1225k2)/2=2637k2/2 、

 BC:CA:AB=EF2(S-EF2):FD2(S-FD2):DE2(S-DE2)

  =256k2(2637k2/2-256k2):1156k2(2637k2/2-1156k2):1225k2(2637k2/2-1225k2)

  =256・2125:1156・325:1225・187=256・85:1156・13:49・187=256・5:68・13:49・11

  =1280:884:539 です。


[解答2]

 △DEFの 内角を単に D,E,F と表すことにし、円の中心を O とします。

 △ABCの内接円は △DEFの外接円であり、この半径を R とすれば、正弦定理より 2R・sinD=EF 、

 余弦定理より、cosD=(FD2+DE2-EF2)/(2・FD・DE) 、

 ここで、(EF2+FD2+DE2)/2=S ,EF・FD・DE=T とすれば、cosD=EF(S-EF2)/T 、

 2R・tanD=2R・sinD/cosD=T/(S-EF2) になり、

 同様に、2R・tanE=T/(S-FD2) 、2R・tanF=T/(S-DE2) です。

 次に、BD=R・tan(∠DOF/2)=R・tanE ,CD=R・tan(∠DOE/2)=R・tanF だから、

 BC=BD+CD=R・tanE+R・tanF 、同様に、CA=R・tanF+R・tanD ,AB=R・tanD+R・tanE で、

 BC:CA:AB=2BC:2CA:2AB=(2R・tanE+2R・tanF):(2R・tanF+2R・tanD):(2R・tanD+2R・tanE)

  ={T/(S-FD2)+T/(S-DE2)}:{T/(S-DE2)+T/(S-EF2)}:{T/(S-EF2)+T/(S-FD2)}

  ={1/(S-FD2)+1/(S-DE2)}:{1/(S-DE2)+1/(S-EF2)}:{1/(S-EF2)+1/(S-FD2)}

 本問では、EF=16k ,FD=34k ,DE=35k と表せ、

 EF2=256k2 ,FD2=1156k2 ,DE2=1225k2 ,S=(256k2+1156k2+1225k2)/2=2637k2/2 ,

 S-EF2=2125k2/2 ,S-FD2=325k2/2 ,S-DE2=187k2/2 、

 303875k2=K とおけば、S-EF2=K/286 ,S-FD2=K/1870 ,S-DE2=K/3250 だから、

 BC:CA:AB={1/(S-FD2)+1/(S-DE2)}:{1/(S-DE2)+1/(S-EF2)}:{1/(S-EF2)+1/(S-FD2)}

  =(1870/K+3250/K):(3250/K+286/K):(286/K+1870/K)=5120:3536:2156=1280:884:539 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

トサミズキ、赤いシベが目立って~
春先に枝を切ると水が滴り落ちるほど水っぽい木であることから、
「土佐水木」と書くのだそうですが……

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも半角の和の立式から、PC頼りで無理やり...^^;
余弦と正弦との複合技でうまく解けるものですわねぇ^^;;
わたしには難問が続いてまっすぅ~...Orz~

ニリンソウ  
No title

お忙しそうですね。
トサミズキが綺麗です。

POPS  
No title

こんばんは。
トサミズキが見頃で綺麗ですね~。
先日安行桜とともに見ました。
春の花は入れ替わるが激しいので見るのも忙しいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
漢字で書かれれば、4文字中3文字が曜日だと気づきました。
今まで考えたこともなかったです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正弦定理・余弦定理で辺の長さの関係を導くしかないです。
ところで、明日も難しいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
年度替わりですので、用事がありましたが、
早く終わりましたので、コメントを書いています。
ヤフーブログのコメントが残らないのは残念ですが。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、春は次々に花が咲くので忙しいです。
でも、それが楽しいですね。