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[答1281] 並べかえた数の和

ヤドカリ

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[答1281] 並べかえた数の和


 4桁の自然数 N に対して、N の数字を並べかえた4桁の数すべての和を S(N) とします。

 例えば、S(1122)=1212+1221+2112+2121+2211=8877 ,

 S(1123)=1132+1213+1231+1312+1321+2113+2131+2311+3112+3121+3211=22208 です。

 では、S(N)=38715 のとき N=?

 ただし、上の位が0でも数字が4個並んでいれば 4桁の自然数として扱うことにします。


[解答]

 N に同じ数字が含まれる場合も含まれない場合も、

 N と N の数字を並べかえた4桁の数すべての数を書けば、

 どの桁についても 数字の種類とその個数が同じですので、

 N+S(N) は 1111の倍数になり、N+S(N)≡0 (mod 1111) 、N≡-S(n) (mod 1111) です。

 S(N)=38715 のとき N≡-38715≡170 (mod 1111) 、

 N=0170,1281,2392,3503,4614,5725,6836,7947,9058 が答の候補です。

 いずれの場合も3種類または4種類の数字が使われますので、

 N に4種類の数字が含まれる場合、数字を a,b,c,d とすれば、4桁の数は24個あり、

 各桁の数字は a,b,c,d が6個ずつだから、N+S(N)=6666(a+b+c+d) 、

 N に3種類の数字が含まれる場合、数字を a,a,b,c とすれば、4桁の数は12個あり、

 各桁の数字は a が6個で b,c が3個ずつ、N+S(N)=6666a+3333(b+c)=3333(2a+b+c) 、

 N+S(N) は 3333の倍数になり、N+S(N)≡0 (mod 3333) 、N≡-S(N) (mod 3333) です。

 S(N)=38715 のとき N≡-38715≡1281 (mod 3333) 、N=1281,4614,7947 が答の候補です。

 N に3種類の数字が含まれ、数字を a,a,b,c とすれば、N+S(N)=3333(2a+b+c) 、

 N+38715=3333(2a+b+c) 、(N+38715)/3333=2a+b+c 、(N+2052)/3333=2a+b+c-11 です。

 N=1281 のとき (N+2052)/3333=1=2・1+2+8-11 、

 N=4614 のとき (N+2052)/3333=2≠2・4+6+1-11 、

 N=7947 のとき (N+2052)/3333=3≠2・7+9+4-11 だから、

 N=1281 だけが適します。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ヒュウガミズキでしょうか~
透明がかった花びら個性的ですネ

ニリンソウ  
No title

今日はヒュウガミズキですか
とても似てて区別が難しいですが
どっちもレモン色で春らしいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
トサミズキでしょうかね。
今まさに旬で綺麗で、ヒュウガミズキとともに彩りを与えてくれてますね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なかなかすっきりと思い至らず...^^;
似た感じになりましたが、効率悪かったかな...^^;;
展開図の問題は白旗ぁ~🏳...Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ヒュウガミズキです。
蝋梅ほどではないですが、少し透明感があります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ヒュウガミズキです。
トサミズキと違って、蕊の先と花弁の色が似ていて、上品に感じます。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒュウガミズキです。トサミズキとよく似ていますが、
花は小ぶりで、上品な感じです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このような問題はいかに能率よく絞るかですね。
それを工夫する楽しさはあると思います。