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[答1282] 十面体の体積

ヤドカリ

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[答1282] 十面体の体積


 1辺が8の正三角形の面だけでできる、図のような展開図をもつ 十面体の体積は?

 なお、この展開図で2種類の十面体が考えられます。


[準備]

 立方体の面を二等分した直角二等辺三角形を側面とする正三角錐は体積が立方体の 1/6 で、

 水色とピンクの図のように、立方体からこの正三角錐4個を削れば正四面体になります。

 従って、正四面体の体積は、1辺が 1/√2 倍の立方体の 1-4・1/6=1/3 倍です。

 ピンクと黄色の図のように、正四面体の辺の中点3個を通る面で、

 1辺の長さが 1/2 の正四面体4個を切り取れば、1辺の長さが 1/2 の正八面体が残ります。

 1辺の長さが 1/2 の正四面体の体積はもとの 1/8 倍なので、

 1辺の長さが等しい正四面体と正八面体の体積比は 1/8:(1-4・1/8)=1:4 です。

 1辺が 8 の正四面体の体積を V とすれば、V=(4√2)3/3=(128√2)/3 で、

 1辺が 8 の正八面体の体積は 4V です。


[解答]

 上中図のように、この展開図からできる立体は2種類あります。

 1つは 右上図の同じ色で示した辺を付け、点線を谷折りにして出来る、

 1辺が 8 の正四面体4個を合わせた立体で、体積は、4V=4(128√2)/3 =(512√2)/3 です。

 (図は デルタ六面体(正四面体2個合わせた立体)2個を色分けしています。)

 もう1つは 水色の正三角形は1辺が 8 の正八面体の7面とし、

 青の三角形は1辺が 8 の正四面体の3面で この部分を凹みとする立体です。

 (もし、膨らみであれば、一部の折り目が不要で 展開図は水色と黄緑色の図になります。)

 体積は、4V-V=3V=3(128√2)/3 =128√2 です。

 従って、求める十面体の体積は、(512√2)/3 ,128√2 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより ( オレンジ色の図参照 )

★ 展開図から考えられる十面体は2種類ですが、たけちゃんさんが丁寧に示してくれました。

 十面体の各面は三角形だから,辺はのべ30本あり,1つの辺は2つの面に共有されるから,辺は15本.
 すると,多面体定理より,頂点は高々7個となる.
 各面が正三角形である多面体は,上記と同様に辺数を考えて,面数は偶数に限ることに注意する.

 オレンジ色の右下図のように,展開図での正三角形と頂点を次のように名付ける.
 正三角形を,上段を左から0,1,2,中段を左から3,4,5,6,7,8,下段を9
 頂点を,最上段を左からA,B,C,2段目を左からD,E,F,G,3段目を左からH,I,J,K,最下段をL

 展開図中で,面2つでできる1辺の長さ8の菱形の4頂点となる点について,
 正三角形の辺の両端となる2点は決して一致せず,
 菱形の長い方の対角線の両端2点が一致するとすれば
 菱形を構成する2つの正三角形が重ならざるを得なくなり不適だから,
 結局,1辺の長さ8の菱形の4頂点となる点はどの2つも一致しない.
 また,10個の正三角形のうちの3つ以上が1つの辺を共有することはないから,
 例えば AとJが一致するとすれば,AE=JE が 0,5,6に共有されて不適となる.
 したがって,7点A,D,E,F,I,J,Lのうち,一致し得るのは「AとL」のみ.
 これより,十面体は少なくとも6頂点をもつから,種数は0に限る.

 A=L の場合を調べる.
 展開図上の線分ALは,十面体の表面の閉曲線となり,
 正三角形3と0,4,5,9の一部がその閉曲線で区切られる片側を構成するから,頂点HはAやLと一致する.
 このとき,正三角形0,3,4は正四面体の3面をなし,
 その欠けた1つの面と正三角形5,9も正四面体の3面をなす.
 これの欠けた1面と正三角形1,2,6,7,8の6つで六面体ができなければならない.
 ところが,頂点Fは,正三角形1,2,6,7,8に共有され,
 六面体にするには五角錐にするしかなく,各面が正三角形だから不適.
 したがって,A≠Lであり,A,D,E,F,I,J,Lが十面体の頂点のすべてである.

 頂点Bは,D,E,F,I,Jとは一致し得ない.
 B=Lとすると,BE(LE),EJ,JLがすべて8より,E,J,Lは正三角形の3頂点で,
 また,展開図上の折れ線BEJLは,十面体上の閉曲線となり,
 これが作る正三角形と,正三角形1,2,6,7,8が六面体の6面をなすはずで不適.
 よって,BはAと一致する.

 頂点Kは,A(=B),E,F,I,Jとは一致し得ない.
 K=Dとすると,展開図上の折れ線DIJKが十面体上の閉曲線で,正三角形をなし,
 これと正三角形3,9で三面体ができることになって不適.
 よって,KはLと一致する.

 頂点Cは,E,F,J,L(=K)とは一致し得ない.
 C=Dとすると,折れ線CFEDを考えて,正三角形0,1と正三角形DEFが三面体を作り不適.
 C=Iとすると,折れ線CFJIを考えて,正三角形2,7,8,9と正三角形FJIが五面体を作り不適.
 よって,CはAと一致する.

 [D=Gのとき]
 A(=B=C),D,E,Fは,どの2点間の距離も8であり,正四面体の4頂点をなす.
 正三角形0,1,2は,この正四面体の4面中の3面であり,
 その欠けた1面をTとすれば,Tの3辺はDE,EF,FGであり,G=Dと定まり,
 8個の正三角形T,3,4,5,6,7,8,9で八面体ができる.
 この八面体は,すべての面が正三角形で,頂点はD,E,F,I,J,Lの6個,
 H,KはLと一致することから正八面体であり,
 十面体の10面は,正四面体ADEFの4面の内,三角形DEFを除いた3面と,
 正八面体DEFIJLの8面の内,三角形DEFを除いた7面となる.

 正四面体と正八面体の位置関係を考察する.(大きさは変わるが,)
 正八面体の6頂点を(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)として,これの1つの面,
 例えば(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を3頂点とする正三角形について,
 3頂点からの距離がすべて√2である点(k,k,k) を求めると,
 (k-1)2+k2+k2=2 から,k=1,-1/3となって,k=1のときの点(1,1,1)は,
 正八面体と1つの面を共有し,互いに外部にある正四面体の残りの頂点.
 この点は,正八面体の1つの面(頂点(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))を
 含む平面である「平面-x+y+z=1」上にある.
 つまり,正八面体と正四面体を合わせた立体は,
 面数が (8-1)+(4-1) にはならず,もっと面数の少ない多面体となる.
 (実際,各面を菱形とする平行六面体の1頂点を共有する3面,それをPQRS,PSTU,PUVQとして,
 △RST,△TUV,△VQRおよび三角形RTVを面に持つ七面体となる.)

 k=-1/3の点(-1/3,-1/3,-1/3)は,
 「3点(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)を通る平面 x+y+z=-1」上にあるが,
 八面体の外部ではないので,正八面体から正四面体を除いた立体は,十面体といってよさそう.
 このとき,立体は,1辺の長さ8の正八面体から,
 1つの面を共有し,正八面体の内部にある正四面体を除いたものとなって,
 その体積は,d=8として,{(√2)/3-(√2)/12}d3=(√2)(83)/4=128√2.

 [D≠Gのとき]
 B,C以外にもAと一致する頂点があることになり,その候補はHのみ.
 このとき,7頂点の内訳は,A=B=C=H,D,E,F,G=I,J,K=Lとなり,
 図のように,正四面体ADEI,正四面体AEIF,正四面体EFIJ,正四面体FIJKを合わせたものとなり,
 体積は,4・(√2)/12・83=(512/3)√2.

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Comments 8

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ひとりしずか  
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コブシの白い花びらが青い空に際だって見えます

今朝は -1℃、金星、木星、月が見えて~

アキチャン  
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おはようございます。
青空に映えてコブシが満開になって真っ白に咲いている様は好きです(*´∀`*)

POPS  
No title

こんばんは。
コブシでしょうか?
白い花が沢山で、春を感じますね~。
都内では場所によってはソメイヨシノの開花がかなり進んでました。
ナイス

ニリンソウ  
No title

こんばんは~
白い花、モクレンでもないタムシバでもない
コブシですかね?
コブシ咲く北国の春かな、そちらでも咲くのですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青空を待って、やっと撮ることが出来ました。
ところで、そちらはまだ氷点下になり得るのですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
休日に限って灰色がかった雲がたれこめ、
コブシを撮る機会がなかなかありませんでした。
やっと撮れたのでアップできました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コブシの白い花が咲きだすと春ですね。
辛夷・白木蓮・雪柳など、白い花が目立ちます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コブシは北国の春のイメージがありますが、此方でも咲きます。
白い花は青空の背景がいいですね。