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[答1283] 4次関数と接線と変曲点

ヤドカリ

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[答1283] 4次関数と接線と変曲点


 f(x) は x4 の係数が1であるxの4次関数で、

 図のように、y=f(x) と y=mx+n と点A,Bで接し、A,Bのx座標の差が 10 です。

 また、y=f(x) には変曲点C,Dがあり、直線CDと y=f(x) は点E,C,D,Fと交わります。

 なお、x座標が小さい順に E,A,C,D,B,F とします。

 このとき、線分CDと y=f(x) で囲まれる黄色の部分の面積を S として、S=?

 また、線分ABと 線分EFと y=f(x) で囲まれる水色の部分の面積を T として、T=?


[準備]

 m,n を負でない整数として、I(m,n)=αβ (x-α)m(x-β)ndx とします。

 I(m,n)={1/(m+1)}[(x-α)m+1(x-β)n-1]αβ-{n/(m+1)}αβ (x-α)m+1(x-β)n-1dx 、

 I(m,n)=-n・I(m+1,n-1)/(m+1)={n(n-1)}・I(m+2,n-2)/{(m+1)(m+2)}=……

  =(-1)k・{n(n-1)…(n+1-k)}・I(m+k,n-k)/{(m+1)(m+2)…(m+k)}=……

  =(-1)n・{n(n-1)…(n+1-n)}・I(m+n,n-n)/{(m+1)(m+2)…(m+n)}

  =(-1)n・n!・I(m+n,0)/{(m+n)!/m!}=(-1)n・m!・n!・I(m+n,0)/(m+n)! 、

 ここで、I(m+n,0)=αβ (x-α)m+ndx=[(x-α)m+n+1]αβ/(m+n+1)=(β-α)m+n+1/(m+n+1) 、

 よって、I(m,n)=(-1)n・m!・n!・(β-α)m+n+1/(m+n+1)/(m+n)! 、

 αβ (x-α)m(x-β)ndx=(-1)n・m!・n!・(β-α)m+n+1/(m+n+1)! です。

 本問では、αβ (x-α)2(x-β)2dx=(β-α)5/30 ,αβ (x-α)(x-β)dx=-(β-α)3/6 を使います。


[解答]

 E,A,C,D,B,F のx座標をそれぞれ e,a,c,d,b,f (e<a<c<d<b<f) とし、a+b=M ,d-c=L とします。

 y=f(x) は A,B で y=mx+n に接するので、f(x)=(x-a)2(x-b)2+mx+n と表されます。

 f(x)=(x2-Mx+ab)2+mx+n=x4-2Mx3+(M2+2ab)x2-2abMx+a2b2+mx+n 、

 f'(x)=4x3-6Mx2+2(M2+2ab)x-2abM+m 、f"(x)=12x2-12Mx+2(M2+2ab)=12(x2-Mx+M2/6+ab/3) 、

 f"(x)=0 の解が c,d なので、c+d=M ,cd=(M2+2ab)/6 、ab=3cd-M2/2 です。

 cd={(c+d)2-(d-c)2}/4=(M2-L2)/4 ,ab={(a+b)2-(b-a)2}={M2-(b-a)2}/4 だから、

 {M2-(b-a)2}/4=3(M2-L2)/4-M2/2 、(b-a)2=3L2 です。

 (x-a)(x-b)=x2-Mx+ab=x2-Mx+3cd-M2/2=(x-c)(x-d)+2cd-M2/2

  =(x-c)(x-d)+(M2-L2)/2-M2/2=(x-c)(x-d)-L2/2 になり、

 f(x)={(x-c)(x-d)-L2/2}2+mx+n 、f(c)=L4/4+mc+n ,f(d)=L4/4+md+n ですので、

 直線CDは、傾きが {f(d)-f(c)}/(d-c)=m(d-c)/(d-c)=m になり、

 y-f(c)=m(x-c) 、y=mx-mc+f(c) 、y=mx+n+L4/4 です。

 g(x)=mx+n+L4/4 とおけば、直線CDは y=g(x) です。

 f(x)=g(x) とおけば、f(x)-g(x)=0 、{(x-c)(x-d)-L2/2}2-L4/4=0 、

 {(x-c)(x-d)-L2/2}2-(L2/2)2=0 、(x-c)(x-d){(x-c)(x-d)-L2}=0 、

 e,f は (x-c)(x-d)-L2=0 の解で、x2-Mx+cd-L2=0 の解だから、

 (x-c)(x-d)-L2=(x-e)(x-f) となり、(x-c)(x-d)=(x-e)(x-f)+L2

 f(x)={(x-c)(x-d)-L2/2}2+mx+n={(x-e)(x-f)+L2/2}2+mx+n で、次のようにも表せます。

 f(x)=(x-c)2(x-d)2-L2(x-c)(x-d)+L4/4+mx+n=(x-c)2(x-d)2-L2(x-c)(x-d)+g(x) 、

 f(x)=(x-e)2(x-f)2+L2(x-e)(x-f)+L4/4+mx+n=(x-e)2(x-f)2+L2(x-e)(x-f)+g(x) 。

 S=cd {f(x)-g(x)}dx=cd {(x-c)2(x-d)2-L2(x-c)(x-d)}dx

  =(d-c)5/30+L2(d-c)3/6=L5/30+L5/6=L5/5 です。

 ef {f(x)-g(x)}dx=ef {(x-e)2(x-f)2+L2(x-e)(x-f)}dx

  =(f-e)5/30-L2(f-e)3/6=(L√5)5/30-L2(L√5)3/6=5L2(L√5)3/30-L2(L√5)3/6=0

 ですので、直線CDと y=f(x) で囲まれる3つの部分の面積は 直線CDの上下で同じ面積です。

 よって、T は 線分ABと y=f(x) で囲まれる部分の面積と等しく、

 T=ab {f(x)-(mx+n)}dx=ab (x-a)2(x-b)2dx=(b-a)5/30=(L√3)5/30 です。

 題意より L√3=10 だから、L=10/√3 、

 S=L5/5=(10/√3)5/5=20000/(9√3)=(20000√3)/27 、T=(L√3)5/30=105/30=10000/3 です。

 ( S≒1283.00 ,T≒3333.33 )

.

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

これもコブシですよね……
青空に向かって伸ばした枝に密に花!!!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
曲線って不思議な性質を持っているんですわねぇ☆
地道に計算をしちゃいましたわ ^^;...Orz

わたしが虫だったら...思わず誘惑されてしまいそうな可憐な花ですね🌸

ニリンソウ  
No title

大きなハクモクレンですね。
まっ白でなくこのクリーム色の白がいいと思います。
青い空に似合います。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

白木蓮ですか?
真っ青な空に白い色が
とても映えていて素敵です。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハクモクレンも青空の下では輝いていました。
花がビッシリついていると、見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
3次関数は点対象ですが、4次関数はどんな性質があるのでしょうか。
2つの変曲点を通る直線と2点で接する直線が平行であることは分かりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、大きなハクモクレンです。
花を大きく撮れば全体像が分からないので、こんな写真になりました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、白木蓮です。
なかなか青空に恵まれず、やっと撮れたのがこの写真です。

POPS  
No title

こんばんは。
ハクモクレンが見頃で綺麗ですね~。青空に良く合う花で、ウチの方はソメイヨシノが見頃に入ったら、曇りがちです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ハクモクレンが綺麗に咲いていましたが、休日が曇りがちで、
やっと撮れた写真です。
青空を背景に撮りたい花ですので。