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[答1284] 条件を満たす自然数の組

ヤドカリ

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[答1284] 条件を満たす自然数の組


 |a-b|>|b-c| を満たす 30以下の自然数の組(a,b,c)は何組?


[解答1]

 一般化し、|a-b|>|b-c| を満たす n以下の自然数の組(a,b,c)の組数を求めます。

 両辺を2乗し、(a-b)2>(b-c)2 、(a-b)2-(b-c)2>0 、(a-c)(a+c-2b)>0 、

 よって、2b<a+c のとき a>c で、2b>a+c のとき a<c であればよい。

 つまり、a,c を区別せず、a≠c かつ 2b≠a+c である場合の数を求めることになります。

 a,c の選び方は n2=n(n-1)/2 で、b=1,2,……,n まで加えると、n2(n-1)/2 、

 このうち 2b=a+c となる場合は、a,c が偶数どうしまたは奇数どうしで、b がその平均ですので、

 nが偶数のとき、n/22n/22=2・(n/2)(n/2-1)/2=n(n-2)/4 、

 nが奇数のとき、(n+1)/22(n-1)/22=(n/2+1/2)(n/2-1/2)/2+(n/2-1/2)(n/2-3/2)/2=(n-1)2/4 、

 いずれの場合も [(n-1)2/4] 通りですので、

 求める個数は、 n2(n-1)/2-[(n-1)2/4] です。

 本問では n=30 ですので、302・29/2-[292/4]=13050-210=12840 通りです。


[解答2]

 一般化し、|a-b|>|c-b| を満たす n以下の自然数の組(a,b,c)の組数を求めます。

 n以下の自然数の組(a,b,c)は組数 n3 個で、

 |a-b|>|c-b| を満たす場合も |a-b|<|c-b| を満たす場合も同数ですので、

 |a-b|=|c-b| を満たす場合の数を N とすれば、(n3-N)/2 組になります。

 |a-b|=|c-b| になるのは、a=c の場合 または a,b,c が公差が0以外の等差数列の場合で、

 a=c の場合は n2

 n以下の異なる3個の自然数が等差数列になるような選び方は、

 偶数どうしまたは奇数どうしの2個とその平均を選べばよいので、

 nが偶数のとき、n/22n/22=2・(n/2)(n/2-1)=n(n-2)/2 、

 nが奇数のとき、(n+1)/22(n-1)/22=(n/2+1/2)(n/2-1/2)+(n/2-1/2)(n/2-3/2)=(n-1)2/2 、

 いずれの場合も [(n-1)2/2]=2[(n-1)2/4] 通りだから、N=n2+2[(n-1)2/4] 、

 求める個数は、 {n3-n2-2[(n-1)2/4]}/2=n2(n-1)/2-[(n-1)2/4] です。

 本問では n=30 ですので、302・29/2-[292/4]=13050-210=12840 通りです。

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Comments 11

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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わっ すごい

アキチャン  
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おはようございます。
すごいですね!こんな状態のつくしは見たことがありません!
摘まれましたか?(*´∀`*)

スモークマン  
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グーテンターク ^^
そっか...流れは理解できましたぁ☆
わたしゃ...数え上げちゃった≒[解答1]?だったのかな ^^;...Orz~
いやぁ~問題の種はつきマジですね!! 驚き桃の木桜の木🌸

ニリンソウ  
No title

このツクシ丁度食べごろ? 笑
綺麗に並んでいますね。 やがてスギナの緑地になるかな。

POPS  
No title

こんばんは。
つくしが沢山で、春を感じますね~。
ウチの方は晴れ間が少なくて、なかなか青空と桜が撮れません。
ナイスが無いのは違和感があります💦

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
びっしりと生えている土筆、初めてこんな光景を見ました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
私も見たことがありませんでした。
残念ながら摘むわけにはいかない所に生えていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答1]の途中から[解答2]に移ることは可能です。
問題は、思いつく時はふと思いつきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この場所は実は花の文化園の、水芭蕉の湿地の際です。
やがてどうなるか、今度行ったとき見てみたいと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
こちらも晴れ間は少ないです。
31日は久しぶりの青空で、桜を撮りました。
ナイスは今朝はまだあったのですが……。

ヤドカリ  
No title

2019/4/1(月) 午後 10:59の鍵コメ様
仰る通りです。
コピペしているうちにミスしましたので、
訂正させていただきました。